Question

如圖，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的長.

小萍同學靈活運用軸對稱知識，將圖形進行翻折變換，巧妙地解答了此題.

請按照小萍的思路，探究并解答下列問題：

(1)分別以AB、AC為對稱軸，畫出△ABD、△ACD的軸對稱圖形，D點的對稱點為E、F，延長EB、FC相交于G點，求證：四邊形AEGF是正方形；

(2)設AD=x，建立關于x的方程模型，求出x的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析；（2）6.

【解析】

試題分析：（1）先根據△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF=90°；再根據對稱的性質得到AE=AF，從而說明四邊形AEGF是正方形；

（2）利用勾股定理，建立關于x的方程模型（x-2）2+（x-3）2=52，求出AD=x=6．

試題解析：（1）證明：由題意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．

∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°，

∴∠EAF=90°．

又∵AD⊥BC

∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°．

∴四邊形AEGF是矩形，

又∵AE=AD，AF=AD

∴AE=AF．

∴矩形AEGF是正方形．

（2）解：設AD=x，則AE=EG=GF=x．

∵BD=2，DC=3

∴BE=2，CF=3

∴BG=x-2，CG=x-3

在Rt△BGC中，BG2+CG2=BC2，

∴（x-2）2+（x-3）2=52．

化簡得，x2-5x-6=0

解得x1=6，x2=-1（舍去）

所以AD=x=6．

考點:1. 翻折變換（折疊問題）；2.勾股定理；3.正方形的判定.