Question

（2003•隨州）已知，⊙O與直線l相切于點C，直徑AB∥l，P是l上C點左邊（不包括C點）一動點，AP交⊙O于D，BP交⊙O于E，DE的延長線交l于F．
（1）當PC＜AO時，如圖1，線段PF與FC的大小關系是______．結合圖1，證明你的結論；
（2）當PC＞AO時，AP的反向延長線交⊙O于D，其它條件不變，如圖2，（1）中所得結論是否仍然成立？
答：______；（不證明）
（3）如圖2，當tan∠APB=，tan∠ABE=，AP=時，求PF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于FC²=FE•FD，因此只要證PF²=FE•FD即可，可以通過證三角形PEF和DPF相似來解．證這兩個三角形相似關鍵是求∠DPF=∠PEF，可通過等角的補角相等來證，∠DEP是圓內接四邊形ADEB的外角，∠DEP=∠A，而∠A是∠DPF的補角（平行線間的同旁內角），∠DEP是∠PEF的補角，由此可得證．
（2）證法同（1）．
（3）求PF，關鍵是求PC的長，也就是求出PE，BE的長．連接AE，那么可在直角三角形APE中，根據∠APE的正切值和勾股定理可以求出AE，PE的長，然后用AE的長，在直角三角形ABE中根據∠B的正切值求出BE的長，那么根據切割線定理得出的PC²=PE•PB，可求出PC的長，也就求出了PF的長．
解答：解：（1）PF=FC．
證明：∵四邊形ABED內接與⊙O，
∴∠PDE=∠B．
∵AB∥l，
∴∠B=∠EPF．
∴∠PDE=∠EPF．
∴△PFE∽△DFP．
∴．
∴PF²=EF•FD．
∵CF切⊙O于C，
∴CF²=FE•FD．
∴PF²=CF²即PF=CF．

（2）成立．

（3）連接AE．
⊙O中，∵AB是直徑，∴AE⊥PB
在Rt△APE中，由tan∠APB=，
設AE=x，則PE=2x．
由AP²=AE²+PE²，得x=
∴AE=，EP=
在Rt△AEB中，BE==
⊙O中PC切⊙O于C，
∴PC²=PE•PB=PE•（PE+EB）=•（+）=4．
∴PC=2．
∴PF=PC=1．
點評：本題主要考查了切割線定理，相似三角形的性質以及解直角三角形等知識點，通過線段的比例關系來求解是本題的基本思路．