Question

某市為了進一步改善居民的生活環境，園林處決定增加公園A和公園B的綠化面積．已知公園A，B分別有如圖1，圖2所示的陰影部分需鋪設草坪，在甲、乙兩地分別有同種草皮1608m²和1200m²出售，且售價一樣．若園林處向甲、乙兩地購買草皮，其路程和運費單價見下表：

	公園A		公園B
	路程（千米）	運費單價（元）	路程（千米）	運費單價（元）
甲地	30	0.25	32	0.25
乙地	22	0.3	30	0.3

（注：運費單價指將每平方米草皮運送1千米所需的人民幣）

（1）分別求出公園A，B需鋪設草坪的面積；（結果精確到1m²）
（2）請設計出總運費最省的草皮運送方案，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）公園A草坪的面積=大矩形的面積-兩條小道的面積+兩條小道重疊部分的面積．
公園B草坪的面積=大矩形的面積-兩個扇形的面積-扇形所夾的兩個三角形的面積．

（2）本題可根據總運費=公園A向甲，乙兩地購買草坪所需的費用+公園B向甲乙兩地購買草坪所需的費用，如果設總運費為y元，公園A向甲地購買草皮xm²，那么根據上面的等量關系可得出y與x的關系式，然后根據甲乙兩地出售的草坪的面積和公園A，B所需的草坪面積得出x的取值范圍，再根據函數的性質得出花錢最少的方案．

解答：解：（1）設公園A，B需鋪設草坪的面積分別為S₁，S₂
根據題意，得S₁=62×32-62×2-32×2+2×2=1800．
設圖2中圓的半徑為R，由圖形知，圓心到矩形較長一邊的距離為

25

2

，
所以Rcos30°=

25

2

，有R=

25

3

．
于是，S2=65×25-2×

120

360

×(

25

3

)2π-2×

1

2

×

25

3

×

25

2

≈1008．
所以公園A，B需鋪設草坪的面積分別為1800m²和1008m²．

（2）設總運費為y元，公園A向甲地購買草皮xm²，向乙地購買草皮（1800-x）m²．（6分）
由于公園A，B需要購買的草皮面積總數為1800+1008=2808（m²），甲、乙兩地出售的草皮面積總數為1608+1200=2808（m²）．
所以，公園B向甲地購買草皮（1608-x）m²，向乙地購買草皮1200-（1800-x）=（x-600）（m²）．
于是，有

0≤x≤1608 0≤1800-x≤1200

所以600≤x≤1608．
又由題意，得y=30×0.25x+22×0.3•（1800-x）+32×0.25•（1608-x）+30×0.3•（x-600）=1.9x+19344．
因為函數y=1.9x+19344隨x的增大而增大，
所以，當x=600時，有最小值y=1.9×600+19344=20484（元）．
因此，公園A在甲地購買600m²，在乙地購買1800-600=1200m²；
公園B在甲地購買1608-600=1008（m²）．
此時，運送草皮的總運費最省．

點評：本題主要考查了一次函數的應用，依據題意得出等量關系，找出自變量的取值范圍是解答問題的關鍵．