Question

已知在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，直線y=kx+b與x軸、y軸分別交于點A、B，與雙曲線相交于點C、D，且點D的坐標為（1，6）．
（1）如圖1，當點C的橫坐標為2時，求點C的坐標和的值；
（2）如圖2，當點A落在x軸負半軸時，過點C作x軸的垂線，垂足為E，過點D作y軸的垂線，垂足為F，連接EF．
①判斷△EFC的面積和△EFD的面積是否相等，并說明理由；
②當時，求點C的坐標和tan∠OAB的值；
（3）若tan∠OAB=，請直接寫出的值（不必書寫解題過程）

Answer 1

【答案】分析：（1）由點D（1，6）在反比例函數y=的圖象上可求出m的值，進而得出反比例函數的解析式，再由點C的橫坐標為2即可得出其縱坐標，故可得出C點坐標；再算出一次函數解析式，進而得到A、B點坐標，然后可算出的值；
（2）①設C（a，b），則ab=6，由S_△EFC=|ab|=3，S_△EFD=×1×6=3，可得△EFC的面積和△EFD的面積相等；
②先證明四邊形DFEA與四邊形FBCE都是平行四邊形，故可得出CE=BF，∠FDB=∠EAC，再由全等三角形的判定定理得出△DFB≌△AEC，故AC=BD，設CD=2k，AB=k，DB=，
可得=，再證明△DFB∽△AOB，可算出OA=2，OB=4，進而得到tan∠OAB==2．
（3）根據1.2兩圖，要分兩種情況，一是k=，二是k=-．
解答：解：（1）∵D（1，6）在y=上，
∴m=6，即雙曲線解析式是 y=，
當C點橫坐標為2時，縱坐標為3，
∴C（2，3）．
直線AB過點C（2，3），D（1，6），得，
解得：，
故直線AB的解析式為y=-3x+9．
∴B（0，9），A（3，0），
∴AB=3，
∵C（2，3），D（1，6），
∴CD=
∴=；

（2）①設C（a，b），則ab=6，
∵S_△EFC=（-a）（-b）=ab=3，而S_△EFD=×1×6=3，
∴S_△EFC=S_△EFD；
②∵S_△EFC=S_△EFD，且兩三角形同底，
∴兩三角形的高相同，
∴EF∥CD，
∵DF∥AE，BF∥CE，
∴四邊形DFEA與四邊形FBCE都是平行四邊形，
∴CE=BF，∠FDB=∠EAC，
在△DFB與△AEC中，
∵，
∴△DFB≌△AEC，
∴AC=BD，
∵=2，設CD=2k，AB=k，DB=，
∴=，
∵∠DFB=∠AOB，∠DBF=ABO，
∴△DFB∽△AOB，
∴===，
∵DF=1，
∴OA=2，
∵OF=6，
∴OB=4，
∴tan∠OAB==2．
∵OA=2，OB=4，
∴A（-2，0），B（0，4），
∴直線AB的解析式為y=2x+4，
聯立反比例函數解析式和一次函數解析式可得，
解得：，，
∴C（-3，-2）．


（3）如圖2，直線與雙曲線過D點（1，6），帶入雙曲線方程6=，
解得：m=6，
帶入直線方程，6=k+b，b=6-k，
所以直線方程變為y=kx+6-k，
∵tan∠OAB=，
∴直線方程的斜率為，即k=，
∴b=，
∴直線方程為y=x+，
∴A的坐標為（-41，0），B（0，），
再將直線方程帶入雙曲線方程有=x+，解得x=1或-42，
當x=-42，y=-，
過C做平行于x軸的直線，過D做平行于y的直線，兩直線相交與M，
∴△AOB∽△CMD，
∴=，
CM=1-（-42）=43，AO=41，所以=．
如圖1：∵tan∠OAB=，
∴直線方程的斜率為，即k=-，
∴b=，
∴直線方程為y=-x+，
∴A的坐標為（43，0），B（0，），
再將直線方程帶入雙曲線方程有=-x+，解得x=1或42，
當x=42，y=，
∵△AOB∽△CPD，
∴=，
CP=42-1=41，AO=43，
∴=．
綜上所述：的值為或．
點評：本題考查了反比例函數的綜合運用，涉及待定系數法求函數解析式，同底等高的三角形的面積、相似三角形的性質，三角函數定義，題目綜合性較強．