Question

如圖，有一座大橋是靠拋物線型的拱形支撐的，它的橋面處于拱形中部（如我市的中山大橋就是這種模型）．已知橋面在拱形之間的寬度CD為40m，橋面CD離拱形支撐的最高點O的距離為10m，且在正常水位時水面寬度AB為48m．
（1）建立如圖所示的直角坐標系，求此拋物線的解析式；
（2）現有一輛載有救援物質的貨車正以40km/h的速度必需經過此橋勻速開往乙地．當貨車行駛到甲地時接到緊急通知：前方連降暴雨，造成水位以每小時0.3m的速度持續上漲（接到通知時水位已經比正常水位高出2m了，當水位到達橋面CD的高度時，禁止車輛通行）．已知甲地距離此橋360km（橋長忽略不計），請問：如果貨車按原來速度行駛，能否安全通過此橋？若能，請說明理由；若不能，要使貨車安全通過此橋，速度不得低于多少km/h？

Answer 1

分析：（1）結合題意和圖所示的直角坐標系，我們可以得到C（-20，-10），D（20，-10），即可求出拋物線的解析式；
（2）根據題意推出A，B兩點的橫坐標，代入解析式，即可得出他們的縱坐標，它們縱坐標的絕對值為水面到O點的距離為14.4，結合D點的縱坐標推出水面到橋面的距離，根據水漲的速度求出水漲到橋面的時間，然后根據時間和車到橋的距離即可求出車安全過橋的最低速度．

解答：解：（1）設所求拋物線的解析式為y=ax²，由已知點D的坐標為（20，-10）
∴400a﹦-10，
解得a=-

1

40

，
∴所求拋物線的解析式為y=-

1

40

x2；

（2）設B點坐標為（24，b），則有b=-

1

40

×242﹦14.4，
∴貨車在甲地時，水面和橋面的距離為14.4-10-2﹦2.4（m），
∴水位繼續上漲至橋面需要

2.4

0.3

=8（h），
∵40×8=320＜360，
∴貨車按原來速度行駛，不能安全通過此橋
又∵

360

8

﹦45，
∴要使貨車安全通過此橋，速度不得低于45km/h．

點評：本題考查點的坐標的求法及二次函數的實際應用．借助二次函數解決實際問題．