Question

【題目】材料：解形如（x+a）4+（x+b）4＝c的一元四次方程時，可以先求常數a和b的均值，然后設y＝x+．再把原方程換元求解，用種方法可以成功地消去含未知數的奇次項，使方程轉化成易于求解的雙二次方程，這種方法叫做“均值換元法．

例：解方程：（x﹣2）4+（x﹣3）4＝1

解：因為﹣2和﹣3的均值為，所以，設y＝x﹣，原方程可化為（y+）4+（y﹣）4＝1，

去括號，得：（y2+y+）2+（y2﹣y+）2＝1

y4+y2++2y3+y2+y+y4+y2+﹣2y3+y2﹣y＝1

整理，得：2y4+3y2﹣ ＝0（成功地消去了未知數的奇次項）

解得：y2＝或y2＝（舍去）

所以y＝±，即x﹣＝±．所以x＝3或x＝2．

（1）用閱讀材料中這種方法解關于x的方程（x+3）4+（x+5）4＝1130時，先求兩個常數的均值為______．

設y＝x+____．原方程轉化為：（y﹣_____）4+（y+_____）4＝1130．

（2）用這種方法解方程（x+1）4+（x+3）4＝706

Answer 1

【答案】（1）4，4，1，1；（2）x＝2或x＝﹣6．

【解析】

（1）可以先求常數3和5的均值4，然后設y＝x+4，原方程可化為（y﹣1）4+（y+1）4＝1130；

（2）可以先求常數1和3的均值2，然后設y＝x+2，原方程可化為（y﹣1）4+（y+1）4＝706，再整理化簡求出y的值，最后求出x的值．

（1）因為3和5的均值為4，所以，設y＝x+4，原方程可化為（y﹣1）4+（y+1）4＝1130，

故答案為4，4，1，1；

（2）因為1和3的均值為2，所以，設y＝x+2，原方程可化為（y﹣1）4+（y+1）4＝706，

去括號，得：（y2﹣2y+1）2+（y2+2y+1）2＝706，

y4+4y2+1﹣4y3+2y2﹣4y+y4+4y2+1+4y3+2y2+4y＝706，

整理，得：2y4+12y2﹣704＝0（成功地消去了未知數的奇次項），

解得：y2＝16或y2＝﹣22（舍去）

所以y＝±4，即x+2＝±4．所以x＝2或x＝﹣6．