Question

已知拋物線y=

1

2

x²+bx+c經過點（1，-1）和C（0，-1），且與x軸交于A、B兩點（A在B左邊），直線x=m（m＞0）與x軸交于點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在第一象限內，直線x上是否存在點P，使得以P、B、D為頂點的三角形與△OBC全等？若存在，求出點P坐標；若不存在，說明理由；
（3）在（2）的情況下，過點P作x軸的平行線交拋物線于點Q，四邊形AOPQ能否為平行四邊形？若能，求Q點坐標；若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）用待定系數法即可求出函數的解析式．
（2）本題要分兩種情況進行討論，由（1）不難得出A、B的坐標為（-1，0），（2，0）．那么如果要使以P、B、D為頂點的三角形與△OBC全等，△PBD也必為直角三角形且以PB為斜邊．
①當△PBD≌△BCO時，BD=OC=1，PD=OB=2，據此可求出P點的坐標．
②當△PBD≌△CBO時，BO=BD=2，PD=OC=1，據此可求出P點的坐標．
（3）如果四邊形AOPQ為平行四邊形，那么PQ平行且相等于OA，因此P點的坐標向坐標平移1個單位就是Q點的坐標，然后將其代入拋物線的解析式中，即可判斷出Q點是否在拋物線上．

解答：解：（1）依題意，有：

1 2 +b+c=-1 c=-1

，
解得

b=- 1 2 c=-1

∴拋物線的解析式為y=

1

2

x²-

1

2

x-1．

（2）易知：A（-1，0），B（2，0），C（0，-1）；
∴OB=2，OC=1
①△PBD≌△BCO，BD=OC=1，PD=OB=2
∴OD=3，即P點坐標為（3，2）．
②△PBD≌△CBO，BO=BD=2，PD=OC=1，
∴OD=4，即P點坐標為（4，1）．

（3）∵四邊形AOPQ為平行四邊形，
∴PQ∥=OA
①當P點坐標為（3，2）時，Q點坐標為（2，2）．
當x=2時，y=

1

2

×2²-

1

2

×2-1=0，
因此這個Q點不在拋物線上．
②當P點坐標為（4，1）時，Q點坐標為（3，1）．
當x=3時，y=

1

2

×3²-

1

2

×3-1=2
因此Q點不在拋物線上．
綜上所述，不存在符合條件的Q點．

點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、三角形全等、平行四邊形的判定和性質等重要知識點，綜合性強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．