Question

音樂噴泉的某一個噴水口，噴出的一束水流形狀是拋物線，在這束水流所在平面建立平面直角坐標系，以水面與此面的相交線為x軸，以噴水管所在的鉛垂線為y軸，噴出的水流拋物線的解析式為：y=-x²+bx+2．但控制進水速度，可改變噴出的水流達到的最大高度，及落在水面的落點距噴水管的水平距離．
（1）噴出的水流拋物線與拋物線y=ax²的形狀相同，則a=

 

；
（2）落在水面的落點距噴水管的水平距離為2個單位長時，求水流拋物線的解析式；
（3）求出（2）中的拋物線的頂點坐標和對稱軸；
（4）對于水流拋物線y=-x²+bx+2．當b=b₁時，落在水面的落點坐標為M（m，0），當b=b₂時，落在水面的落點坐標為N（n，0），點M與點N都在x軸的正半軸，且點M在點N的右邊，試比較b₁與b₂的大小．

Answer 1

分析：（1）兩個拋物線的形狀相同，則二次項系數的絕對值相等，再根據已知拋物線的開口方向，即可判斷a的值；
（2）落在水面的落點距噴水管的水平距離為2個單位長，即拋物線經過點（2，0），代入函數解析式即可求解；
（3）利用配方法即可求解；
（4）點M與點N都在x軸的正半軸，且點M在點N的右邊，即m＞n＞0．在拋物線y=-x²+bx+2中令y=0，得到=-x²+bx+2=0．
把坐標M（m，0）代入得到0=-m²+b₁m+2，求得b₁，同理可以求得b₂，即可進行比較．

解答：解：（1）a=-1

（2）落在水面的落點距噴水管的水平距離為2個單位長時，
即點（2，0）在拋物線y=-x²+bx+2上
得：0=-4+2b+2
有b=1
拋物線的解析式為y=-x²+x+2

（3）y=-x²+x+2=-（x-

1

2

）²+

9

4

拋物線的頂點坐標為（

1

2

，

9

4

），對稱軸為直線x=

1

2

（4）∵點M與點N都在x軸的正半軸，且點M在點N的右邊
∴m＞n＞0
∴m-n＞0，mn＞0．
∵當b=b₁時，落在水面的落點坐標為M（m，0）
∴0=-m²+b₁m+2
∴b₁=

m2-2

m

同理b₂=

n2-2

n

b₁-b₂=

m2-2

m

-

n2-2

n

=

m2n-2n-mn2+2m

mn

=

mn(m-n)+2(m-n)

mn

=

(m-n)(mn+2)

mn

∴b₁-b₂＞0，
∴b₁＞b₂

點評：本題主要考查拋物線形狀相同的形狀，配方法是一個比較簡單的題目．