Question

如圖1，已知拋物線y=x²+bx+c經過A（3，0）、B（0，4）兩點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若拋物線與x軸的另一個交點為C，求點C關于直線AB的對稱點C'的坐標；
（3）若點D是第二象限內點，以D為圓心的圓分別與x軸、y軸、直線AB相切于點E、F、H（如圖2），問在拋物線的對稱軸上是否存在一點一點P，使得|PH-PA|的值最大？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數法將A（3，0）、B（0，4）兩點代入求出即可；
（2）首先求出C點坐標，再利用△CTC'∽△BOA，得出，進而得出C'T=，CT=的值求出C′點的坐標；
（3）首先求出圓的半徑，再利用拋物線的對稱性，得PA=PC，根據|PH-PA|=|PH-PC|≤HC，得出當H、C、P三點共線時，|PH-PC|最大，求出即可．
解答：解：（1）由題意得：，
解得：．
∴拋物線解析式為y=x²-x+4；

（2）令y=0，得x²-x+4=0．
解得：x₁=1，x₂=3．
∴C點坐標為（1，0）．
作CQ⊥AB，垂足為Q，延長CQ，使CQ=C'Q，則點C′，
就是點C關于直線AB的對稱點．
由△ABC的面積得：CQ•AB=CA•BO，
∵AB==5，CA=2，
∴CQ=，CC'=．
作C'T⊥x軸，垂足為T，
∵∠C′CT+∠BAO=90°，∠C′CA+∠CC′T=90°，
∴∠BAO=∠CC′T，
∵∠BOA=∠CTC′，
∴△CTC'∽△BOA．
∴，
∴C'T=，CT=
∴OT=1+=，
∴C'點的坐標為（，）；

（3）設⊙D的半徑為r，
則AE=r+3，BF=4-r，HB=BF=4-r．
∵AB=5，且AE=AH，
∴r+3=5+4-r，
∴r=3．    
HB=4-3=1．
作HN⊥y軸，垂足為N，
則，，
∴HN=，BN=，
∴H點坐標為（，）．
根據拋物線的對稱性，得PA=PC，
∵|PH-PA|=|PH-PC|≤HC，
∴當H、C、P三點共線時，|PH-PC|最大．
∵HC==，
∴|PH-PA|的最大值為．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及相似三角形的判定與性質等知識，根據數形結合得出當H、C、P三點共線時，|PH-PC|是此題難點．