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已知:如圖,點C在以AB為直徑的⊙O上,點D在AB的延長線上,∠BCD=∠A.
(1)求證:CD為⊙O的切線;
(2)過點C作CE⊥AB于E.若CE=2,cosD=,求AD的長.

【答案】分析:(1)先連接CO,根據AB是⊙O直徑,得出∠1+∠OCB=90°,再根據AO=CO,得出∠1=∠A,最后根據∠4=∠A,證出OC⊥CD,即可得出CD為⊙O的切線;
(2)根據OC⊥CD,得出∠3+∠D=90°,再根據CE⊥AB,得出∠3+∠2=90°,從而得出cos∠2=cosD,再在△OCD中根據余弦定理得出CO的值,最后根據⊙O的半徑為,即可得出AD的長.
解答:證明:(1)連接CO,
∵AB是⊙O直徑
∴∠1+∠OCB=90°,
∵AO=CO,
∴∠1=∠A.
∵∠4=∠A,
∴∠4+∠OCB=90°.
即∠OCD=90°.
∴OC⊥CD.
又∵OC是⊙O半徑,
∴CD為⊙O的切線.

(2)∵OC⊥CD于C,
∴∠3+∠D=90°.
∵CE⊥AB于E,
∴∠3+∠2=90°.
∴∠2=∠D.
∴cos∠2=cosD,
在△OCD中,∠OCD=90°,
∴cos∠2=
∵cosD=,CE=2,
=
∴CO=,
∴⊙O的半徑為
∴OD=,
AD=
點評:本題考查了切線的判定與性質,要證某線是圓的切線,已知此線過圓上某點,連接圓心與這點(即為半徑),再證垂直即可,同時考查了三角函數的知識.
練習冊系列答案
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(1)求證:CD為⊙O的切線;
(2)過點C作CE⊥AB于E,若CE=2,cosD=
45
,求⊙O的半徑.

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(2)過點C作CE⊥AB于E.若CE=2,cosD=
45
,求AD的長.

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29°

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已知:如圖,點C在以AB為直徑的⊙O上,點D在AB的延長線上,∠BCD=∠A.
(1)求證:CD為⊙O的切線;
(2)過點C作CE⊥AB于E,若,求⊙O的半徑.

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