Question

在平面直角坐標中，Rt△OAB的兩頂點A，B分別在y軸，x軸的正半軸上，點O是原點．其中點A（0，3），B（4，0），OC是Rt△OAB的高，點P以每秒1個單位長的速度在線段OB上由點O向點B運動（與端點不重合），過點P作PD⊥AP交AB于點D，設運動時間為t秒．
（1）若△AOE的面積為，求點E的坐標；
（2）求證：△AOE∽△PBD；
（3）△PBD能否是等腰三角形？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由；
（4）當t=3時，直接寫出此時的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點E作EF⊥OA于F，則EF是△OAE的高，易知OA的長，根據△OAE的面積即可求得EF的值，易證得△OEF∽△BAO，根據相似三角形所得比例線段即可求得OE的長，也就能得到E點的坐標．
（2）由于AP⊥PD，那么∠DPB和∠EAO同為∠APO的余角，則∠EAO=∠DPB，易證得∠AOE=∠PBD，由此可證得所求的三角形相似．
（3）由于△APD中，∠APD=90°，故∠ADP是銳角，∠BDP是鈍角，若△BPD是等腰三角形，那么∠BDP必為頂角，即DP=BD；由于△AOE∽△PBD，那么△AOE也是等腰三角形，即OE=AE，根據等腰三角形三線合一的性質知：AF=FO=，仿照（1）的方法，可通過△OEF∽△BAO，求得EF的長，而△AEF∽△APO，根據相似三角形所得比例線段即可求得OP的長即t的值．
（4）當t=3時，OP=OA=3，則AP=3；由（2）證得△AOE∽△PBD，那么AE：PD=OA：PB，由于OA=3，PB=OB-OP=1，因此AE=3PD，可設PD=x，則AE=3x，易得△AEC∽△ADP，則有：，根據射影定理可在Rt△ABO中求出AC的長，利用勾股定理可求得EC的表達式，將它們代入上式比例式中，即可求得x的值，進而可得到EC、AE的長，有了AE、AP的長，即可得到AE：EP的值．
解答：（1）解：過點E作EF⊥OA于點F，
∵△AOE的面積為，OA=3，
∴EF=1；
∵∠EOF=∠ABO=90°-∠BOC，
∠EFO=∠AOB=90°，
∴△OEF∽△BAO，
，即，所以OF=，
∴點E的坐標為（1，）．

（2）證明：∵Rt△OAB中，OC為斜邊AB邊上的高，
∴∠EOA+∠OAC=90°，∠DBP+∠OAC=90°，
∴∠EOA=∠DBP，
∴∠EOA=∠DBP=90°-∠BOC，
∠AEO=∠PDB=90°+∠PAB，
∴△AOE∽△PBD．

（3）△PBD可以是等腰三角形，
∵∠PDB=90°+∠PAB＞90°，
∴如果△PBD是等腰三角形，∠PDB只能頂角，即DP=DB，
當△PDB是等腰三角形，∵△AOE∽△PBD，
∴△AOE是等腰三角形，且EA=EO；
過點E作EF⊥AO于點F，則AF=OF=；
∵△OEF∽△BAO，
∴，即，所以EF=，
∵△AFE∽△AOP，
∴，即，所以t=，
∴當△PBD是等腰三角形時，t=；

（4）當t=3時，．
點評：此題主要考查的是相似三角形的性質以及等腰三角形的判定；在解答過程中，反復多次用到了相似三角形的性質，能夠將所求線段和已知線段用相似三角形串聯起來是解答此題的關鍵．