Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是弦，AB⊥CD于點M，CE交AB的延長線于點E．
（1）如果∠ECD=2∠A，求證：EC是⊙O的切線；
（2）如果CD=8cm，BM=2cm，求⊙O的半徑r．

Answer 1

解：（1）證明：連接CO，
∵圓心角∠BOC與圓周角∠A都對，
∴∠BOC=2∠A，又∠ECD=2∠A，
∴∠ECD=∠BOC，
又∵∠BOC+∠OCM=90°，
∴∠ECD+∠OCM=90°，即∠OCE=90°，
∴EC是⊙O的切線；

（2）∵AB⊥CD，CD=8cm，
∴CM=CD=4cm，
設圓的半徑為rcm，即OC=OB=rcm，
又∵MB=2cm，
∴OM=OB-MB=（r-2）cm，
在Rt△COM中，根據勾股定理得：CO²=CM²+OM²，
即r²=4²+（r-2）²，
解得：r=5cm．
分析：（1）連接OC，利用同弧所對的圓心角等于所對圓周角的2倍，得到∠BOC=2∠A，又∠ECD=2∠A，等量代換得到∠BOC=∠ECD，而在直角三角形OCM中，∠BOC+∠OCM=90°，等量代換得到∠ECD+∠OCM=90°，即∠OCE=90°，即可得到EC與圓O相切；
（2）由直徑AB垂直于弦CD，利用垂徑定理得到M為CD的中點，由CD求出CM的長，設半徑為r，再由OB-MB表示出OM，在直角三角形OCM中，利用勾股定理列出關于r的方程，求出方程的解即可得到r的值．
點評：此題考查了切線的判斷，圓周角定理，以及勾股定理，利用了方程的思想，切線的判定方法有兩種：有點連接，證明垂直；無點作垂線，證明垂線段等于圓的半徑．