Question

如圖，已知⊙O的半徑為3，A是⊙O外一點，AB切⊙O于點B，切線段AB=6．
（1）利用尺規作線段AB的垂直平分線CD交AB與點C，試判斷直線CD與⊙O的位置關系，并說明理由（保留作圖痕跡）；
（2）在⊙O上找出能與點A、B構成等腰三角形的所有的點P（在圖中直接畫出點P的位置即可，保留畫圖痕跡）．

Answer 1

分析：（1）作出線段AB的垂直平分線CD后連接OB，作OE⊥CD于點E，證明四邊形OBCE為正方形后即可證得結論；
（2）分以AB為底邊、AB為腰A為頂點和AB為腰B為頂點三種情況討論即可求得所有點．

解答：解：（1）如圖1所示：

結論：直線CD與⊙O相切；
證明：如圖2，連接OB，作OE⊥CD于點E，
∵AB切⊙O于點B，
∴∠OBC=∠ECB=90°，
∴四邊形OBCE為矩形，
∵AB=6，CD垂直平分線的AB，
∴OB=BC=3，
∴四邊形OBCE是正方形，
∴OE=OB
∴直線CD是⊙O的切線．
（2）當AB為底邊時，點P與點E重合，即P₁；
當AB為腰且A為頂點時，以A為圓心，以AB的長為半徑作圓與⊙O交于點P₂；
當AB為腰且B為頂點時，以B為圓心，以AB的長為半徑作圓與⊙O交于點P₃和P₄；

點評：本題考查了尺規作圖、等腰三角形及圓的綜合知識，綜合性較強，但難度不是很大，特別是確定點P的位置是一個易錯點．