Question

已知線段AB=6．
（1）取線段AB的三等分點，這些點連同線段AB的兩個端點可以組成多少條線段，求這些線段長度的和；
（2）再在線段AB上取兩種點：第一種是線段AB的四等分點；第二種是線段AB的六等分點，這些點連同（1）中的三等分點和線段AB的兩個端點可以組成多少條線段？求這些線段長度的和．

Answer 1

（1）取線段AB的三等分點，則線段共有4個點，從第一個點可以引出3條線段，分別是2，4，6，
從第二個點可以引出2條線段，分別是2，4，
從第三個點可以引出1條線段，是2，
∴這些點連同線段AB的兩個端點可以組成6條線段；
這些線段長度的和：2×3+4×2+6=20；

（2）再在線段AB上取兩種點：第一種是線段AB的四等分點D₁，D₂，D₃；第二種是線段AB的六等分點E₁，E₂．這些點連同（1）中的三等分點和線段AB的兩個端點，共9個點，可以組成9×8÷2=36條線段．
以A為原點，AB為正方向，建立數軸，則各點對應的數為
A：0；B：6；C₁：2；C₂：4；D₁：1.5，D₂：3；D₃：4.5；E₁：1；E₂：5．
以A，B為端點的線段有7×2+1條，長度和=6×8=48；
不以A，B為端點，以E₁，E₂為端點的線段有5×2+1條，長度和=4×6=24；
不以A，B，E₁，E₂為端點，以D₁，D₃為端點的線段有3×2+1條，長度和=3×4=12；
不以A，B，E₁，E₂，D₁，D₂為端點，以C₁，C₂為端點的線段有1×2+1條，長度和=2×2=4．
∴這些線段的長度和=48+24+12+4=88．