Question

填空：
（1）已知（x²+y²+1）（x²+y²-3）=5，則x²+y²的值等于______．
（2）已知實數x、y滿足x²-2x+4y=5，則x+2y的最大值為______．
（3）設a²+b²=4ab且a≠b，則的值等于______．

Answer 1

解：（1）∵（x²+y²+1）（x²+y²-3）=5，
∴（x²+y²）²-2（x²+y²）-8=0，
∴（x²+y²+2）（x²+y²-4）=0，
∴x²+y²-4=0
∴x²+y²=4；
（2）∵x²-2x+4y=5，
∴4y=-x²+2x+5，
∴2（x+2y）=-x²+4x+5
=-（x-2）²+9，
∵a=-1＜0，
當x=2時，2（x+2y）有最大值9，即x+2y有最大值；
（3）∵a²+b²=4ab，
∴a²-4ab+b²=0，
∴a==（2±）b，
當a=（2+）b，
原式===；
當=（2-）b，
原式===-，
∴的值等于±．
故答案為4；；．
分析：（1）利用整體的思想把原方程看作是關于x²+y²的一元二次方程，利用因式分解法求解即可，要注意的是x²+y²是非負數；
（2）利用x來表示x+2y，從而得到關于x的二次函數，然后配成頂點式，根據二次函數的性質確定最大值；
（3）先把a²+b²=4ab看作為關于a的一元二次方程，解方程求出a，即得到a和b的關系，然后代入所求的代數式，再利用二次根式的性質化簡即可．
點評：本題考查了二次函數的最值問題：先把二次函數配成頂點式：y=a（x-k）²+h，當a＞0，x=h，y有最小值h；當a＜0，x=h，y有最大值h．也考查了運用換元法解方程和構建二次函數的關系式以及二次根式的性質．