Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC四個頂點的坐標分別為O（0，0），A（0，3），B（6，3），C（6，0），拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）過點A．

（1）求c的值；
（2）若a=-1，且拋物線與矩形有且只有三個交點A、D、E，求△ADE的面積S的最大值；
（3）若拋物線與矩形有且只有三個交點A、M、N，線段MN的垂直平分線l過點0，交線段BC于點F．當BF=1時，求拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）把（0，3）代入函數解析式y=ax²+bx+c中，易求c；
（2）當a=-1時，函數解析式是y=-x²+bx+3，設D點坐標是（e，3），E點坐標是（6，f），分別把D、E的坐標代入y=-x²+bx+3中，易求e=b以及f=-33+6b，結合三角形面積公式，易得S=-3b²+18b，求關于b的二次函數的最大值即可；
（3）設M的坐標是（g，3），N的坐標是（6，h），根據圖乙知直線OF與BC的交點坐標（6，2），進而求直線OF的解析式是y=x，而OF又是MN的中垂線，那么MN的中點就在直線OF上，于是可得g=3h+3①，g²+9=36+h²②，解關于g、h的二元二次方程組，易求g、h（負數舍去），進而可得M、N的坐標，再把M、N的坐標代入y=ax²+bx+3中，得到關于a、b的二元一次方程組，解可求a、b，進而可得二次函數解析式．
解答：解：（1）把（0，3）代入函數解析式y=ax²+bx+c中，得
c=3；

（2）若a=-1，且拋物線與矩形有且只有三個交點A、D、E，
則D、E分別在線段AB、BC上，或分別在AB、OC上，
若D、E分別在線段AB、BC上，
在y=-x²+bx+3中，令y=3，得x²-bx=0，解得：x=0或x=b，故D（b，3），
令x=6，得：y=6b-33，故E（6，6b-33），
∵0≤6b-33＜3，
∴≤b＜6，
又∵AD=|b|=b，EB=|3-（6b-33）|=36-6b，
△ADE的面積S=AD•BE=b（36-6b）=-3b²+18b=-3（b-3）²+27，
則當b=時，S有最大值．
若D、E分別在AB、OC上，
△ADE的面積S=AD•BE=b•3=b，
∵拋物線的對稱軸為：x=，
當過點C時，拋物線為：y=-x²+x+3，
∴0＜≤，
∴當b=時，S有最大值．


（3）當點M、N分別在AB、OC上時，過M作MG⊥OC于點G，連接OM，
∴MG=OA=3，∠2+∠MNO=90°，
∵OF垂直平分MN，
∴OM=ON，∠1+∠MNO=90°，
∴∠1=∠2，
∴tan∠1==，tan∠2=tan∠1=，
∴GN=GM=1，設N（n，0），則G（n-1，0）
∴M（n-1，3）
∴AM=n-1，ON=n=OM，
在直角△AOM中，OM²=OA²+AM²，
∴n²=3²+（n-1）²，解得：n=5，
∴M（4，3），N（5，0），
把M、N代入二次函數的解析式得：
解得：，
則函數的解析式是：y=-x²+x+3；
如右圖，
當點M、N分別在AB、BC邊上時，
設M的坐標是（g，3），N的坐標是（6，h），
直線OF與BC交點的橫坐標是6，縱坐標是3-1=2，
把（6，2）代入函數y=kx中，得k=，
故直線OF的解析式是y=x，
∵OF垂直平分MN，
∴點（，）在直線y=x上，OM=ON，
∴•=，g²+9=36+h²，
即g=3h+3①，g²+9=36+h²，②
解關于①②的方程組，得
或（負數不合題意，舍去），
把（，3）、（6，）代入二次函數y=ax²+bx+3中，得
，
解得．
故所求二次函數解析式是y=-x²+x+3．
則二次函數解析式是y=-x²+x+3或y=-x²+x+3．
點評：本題考查了二次函數綜合題，解題的關鍵是理解題意，并能畫出草圖，利用線段垂直平分線的性質、解方程組、兩點之間的距離公式來解決問題．