Question

（1999•昆明）在△ABC，∠C=90°，斜邊AB=10，直角邊AC、BC的長是關(guān)于x的方程x²-mx+3m+6=0的兩個實數(shù)根．
（1）求m的值；
（2）計算sinA+sinB+sinA•sinB．

Answer 1

【答案】分析：（1）Rt△ABC中，AB²=AC²+BC²=（AC+BC）²-2AC×BC，再將二次方程的系數(shù)代入求得m值；
（2）將sinA+sinB+sinA•sinB用△ABC的邊表示，化為兩邊之和，兩邊之積，將二次方程的系數(shù)代入求得結(jié)果．
解答：解：（1）如圖，設(shè)AC=x₁，BC=x₂，
由題意，得
x₁+x₂=m＞0，x₁x₂=3m+6＞0．
在Rt△ABC中，AC²+BC²=100，
即x₁²+x₂²=100，
（x₁+x₂）²-2x₁x₂=100．
m²-6m-112=0．
解得m₁=14，m₂=-8（舍去）．
∴m=14．

（2）sinA+sinB+sinAsinB=
=
由x₁+x₂=m=14，x₁x₂=3m+6=3×14+6=48得：
=．
點評：本題考查的是根與系數(shù)的關(guān)系，即兩根之和、兩根之積與二次方程系數(shù)的關(guān)系，同學們應(yīng)靈活運用．