Question

某工程機械廠根據市場需求，計劃生產A、B兩種型號的大型挖掘機共100臺，該廠所籌生產資金不少于22 400萬元，但不超過22 500萬元，且所籌資金全部用于生產此兩型挖掘機，所生產的此兩型挖掘機可全部售出，此兩型挖掘機的生產成本和售價如下表：

型號	A	B
成本（萬元/臺）	200	240
售價（萬元/臺）	250	300

（1）該廠對這兩型挖掘機有哪幾種生產方案？
（2）該廠如何生產能獲得最大利潤？
（3）根據市場調查，每臺B型挖掘機的售價不會改變，每臺A型挖掘機的售價將會提高m萬元（m＞0），該廠應該如何生產獲得最大利潤？（注：利潤=售價-成本）

Answer 1

【答案】分析：（1）在題目中，每種型號的成本及總成本的上限和下限都已知，所以設生產A型挖掘機x臺，則B型挖掘機（100-x）臺的情況下，可列不等式22400≤200x+240（100-x）≤22500，解不等式，取其整數值即可求解；
（2）在知道生產方案以及每種利潤情況下可列函數解析式W=50x+60（100-x）=6000-10x，利用函數的自變量取值范圍和其單調性即可求得函數的最值；
（3）結合（2）得W=（50+m）x+60（100-x）=6000+（m-10）x，在此，必須把（m-10）正負性考慮清楚，即m＞10，m=10，m＜10三種情況，最終才能得出結論．即怎樣安排，完全取決于m的大小．
解答：解：（1）設生產A型挖掘機x臺，則B型挖掘機（100-x）臺，
由題意得22400≤200x+240（100-x）≤22500，
解得37.5≤x≤40．
∵x取非負整數，
∴x為38，39，40．
∴有三種生產方案
①A型38臺，B型62臺；
②A型39臺，B型61臺；
③A型40臺，B型60臺．

（2）設獲得利潤W（萬元），由題意得W=50x+60（100-x）=6000-10x
∴當x=38時，W_最大=5620（萬元），
即生產A型38臺，B型62臺時，獲得最大利潤．

（3）由題意得W=（50+m）x+60（100-x）=6000+（m-10）x
總之，當0＜m＜10，則x=38時，W最大，即生產A型38臺，B型62臺；
當m=10時，m-10=0則三種生產方案獲得利潤相等；
當m＞10，則x=40時，W最大，即生產A型40臺，B型60臺．
點評：考查學生解決實際問題的能力，試題的特色是在要求學生能讀懂題意，并且會用函數知識去解題，以及會討論函數的最大值．要結合自變量的范圍求函數的最大值，并要把（m-10）正負性考慮清楚，分情況討論問題．