Question

（2009•鹽城模擬）如圖1，Rt△ABC中，斜邊AB在x軸上，點C在y軸上，且OC=2，OA：OB=1：4，拋物線y=ax²+bx+c經過A、B、C三點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若直線y=x+b與Rt△ABC相交，所截得的三角形面積是原Rt△ABC面積的，求b的值；
（3）將△OAC繞原點O逆時針旋轉90°后得到△OEF，如圖2，再將△OEF繞平面內某點旋轉180°后得△MNQ（點M、N、Q分別與點E、F、O對應），使點M，N在拋物線上，求點M，N的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了OC的長，OA，OB的比例關系，可直接用射影定理求出OA，OB的長，即可得出A，B，C三點的坐標，然后用待定系數法求出拋物線的解析式．
（2）可先判斷直線y=x+b與△ABC的哪個邊相交，可求出直線過A點時，分△ABC的兩部分的面積各為多少，以此可判斷出直線與△ABC的哪條直角邊相交，然后求出直線y=x+b與三角形兩邊的交點，然后根據直線分△ABC的兩部分的面積來求出b的值．
（3）根據旋轉的性質可知：MQ=OE，而MQ的值為M、N兩點縱坐標的差，可據此來求兩點的坐標．
解答：解：（1）∵∠ACB=90°，OC⊥AB，
∴△OAC∽△GCF．
∴，即OC²=OA•OB
∵OA：OB=1：4，OC=2
∴OA=1，OB=4
∴A（-1，0），B（4，0）
設拋物線的解析式是y=a（x+1）（x-4），
把C（0，2）坐標代入
得2=a（0+1）（0-4），a=-，
∴拋物線的解析式是y=-（x+1）（x+4）=-x²+x+2．

（2）由B（4，0）、C（0，2）得直線BC解析式為y=-x+2；
當直線y=x+b過點A時，b=1，由，
得交點H（，），
則S_△ABH=×5×=＞×5
S_△ACH=S_△ABC-S_△ABH=＜×5
∴直線y=x+b只能與BC相交．
直線y=x+b與x軸交于點G（-b，0），BG=4+b，
解方程組．
得H（，）
根據題意得（4+b）×=×（×5×2）
解得b=-1或b=-7
經檢驗，b=-7都是原方程的根，不符合題意舍去．
∴b=-1．

（3）根據題意得MQ∥OE，NQ∥OF
且MQ=OE=1，NQ=OF=2，
設M（t，），
則N（t+2，）
于是-（t）=1
∴M（1，3），N（2，1）
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、圖形旋轉變換、三角形相似、函數圖象的交點的求法，圖形面積的求法等知識點，綜合性強，能力要求較高．考查學生數形結合的數學思想方法．