Question

拋物線y=x²，y=-

1

2

x2和直線x=a（a＞0）分別交于A、B兩點，已知∠AOB=90°．
（1）求過原點O，把△AOB面積兩等分的直線解析式；
（2）為使直線y=

2

x+b與線段AB相交，那么b值應是怎樣的范圍才適合．

Answer 1

分析：根據兩個拋物線的解析式，可表示出A、B的坐標，進而可得到OA、OB、AB的長，由于∠AOB是直角，利用勾股定理即可求出a的值，從而確定A、B兩點的坐標．
（1）若過原點的直線將△OAB的面積平分，那么此直線必經過AB的中點，已知了A、B的坐標，則線段AB中點的坐標易求得，即可利用待定系數法求得該直線的解析式．
（2）分別將A、B的坐標代入已知的直線解析式中，結合兩種情況下的b值，即可得到b的取值范圍．

解答：解：由題意知：A（a，a²），B（a，-

1

2

a²），則：
OA²=a²+a⁴，OB²=a²+

1

4

a⁴，AB²=

9

4

a⁴；
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，由勾股定理得：
OA²+OB²=AB²，即a²+a⁴+a²+

1

4

a⁴=

9

4

a⁴，
解得a=

2

（負值舍去）；
故A（

2

，2），B（

2

，-1）；
①設AB的中點為C，則C（

2

，

1

2

），
若所求直線將△AOBM的面積兩等分，那么直線必過點C；
設此直線的解析式為：y=kx，則有：

2

k=

1

2

，k=

2

4

；
故所求的直線為：y=

2

4

x；
②將點A的坐標代入直線y=

2

x+b中，得：2+b=2，b=0；
將點B的坐標代入直線y=

2

x+b中，得：2+b=-1，b=-3；
故b的取值范圍是：-3≤b≤0．

點評：此題主要考查了函數圖象上點的坐標意義、勾股定理、三角形面積的求法、函數解析式的確定等知識；能夠根據已知條件求得a的值，是解決此題的關鍵，難度適中．