Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣2|+|2x+a|，a∈R． （Ⅰ）當a=1時，解不等式f（x）≥5；
（Ⅱ）若存在x0滿足f（x0）+|x0﹣2|＜3，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=|x﹣2|+|2x+1|，． 由f（x）≥5得x﹣2|+|2x+1|≥5．
當x≥2時，不等式等價于x﹣2+2x+1≥5，解得x≥2，所以x≥2；
當﹣ ＜x＜2時，不等式等價于2﹣x+2x+1≥5，即x≥2，所以此時不等式無解；當x≤﹣ 時，不等式等價于2﹣x﹣2x﹣1≥5，解得x≤﹣ ，所以x≤﹣ 所以原不等式的解集為（﹣∞，﹣ ]∪[2，+∞）．
（Ⅱ）f（x）+|x﹣2|=2|x﹣2|+|2x+a|=|2x﹣4|+|2x+a|≥|2x+a﹣（2x﹣4）|=|a+4|
因為原命題等價于（f（x）+|x﹣2|）min＜3，
所以|a+4|＜3，所以﹣7＜a＜﹣1為所求實數a的取值范圍
【解析】（Ⅰ）當a=1時，根據絕對值不等式的解法即可解不等式f（x）≥5； （Ⅱ）求出f（x）+|x﹣2|的最小值，根據不等式的關系轉化為（f（x）+|x﹣2|）min＜3即可求a的取值范圍．