Question

如圖，四邊形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，過點D作DE⊥AC，垂足為F，DE與AB相交于點E．已知AB=15cm，BC=9cm，P是射線DE上的動點．設(shè)DP=xcm（x＞0），四邊形BCDP的面積為ycm²．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)x為何值時，△PBC的周長最小，并求出此時y的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)DE⊥AC得到∠DFC=∠FCB=90°，從而得到四邊形BCDP是梯形，然后在Rt△ABC中利用AC²+BC²=AB²求得AC，從而得到CF=AF=6，然后表示出y與x之間的函數(shù)關(guān)系即可；
（2）根據(jù)BC=9（定值），得到要使△PBC的周長最小，只需PB+PC最小，根據(jù)點P是線段AC垂直平分線上的點得到PA=PC，從而得到PB+PC=PB+PA，故只要求PB+PA最小．然后分△DAE∽△ACB和△AFE∽△ACB即可求得AE的長．
解答：解：（1）∵DE⊥AC，
∴∠DFC=∠FCB=90°．
∴BC∥DF，
∴四邊形BCDP是梯形．
在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，
∴．
在△ACD中，∵DA=DC，DF⊥AC，
∴CF=AF=6，
∴（x＞0）．

（2）∵BC=9（定值）．理由如下：
∴要使△PBC的周長最小，只需PB+PC最小．
∵點P是線段AC垂直平分線上的點，
∴PA=PC，
∴PB+PC=PB+PA，故只要求PB+PA最小．
如圖，顯然當(dāng)P與E重合時PB+PA最小，
此時x=DP=DE，PB+PA=AB，
在△DAE和△ABC中，
∵BC∥DF，
∴∠AEF=∠B，
∵∠DFA=∠ACB=90°，
∴△DAE∽△ACB，
∴，
即，
在△AFE和△ACB中
∵∠FAE=∠CAB，∠AFE=∠ACB=90°，
∴△AFE∽△ACB，
∴，
即，
∴AE=．
在Rt△ADE和△CAB中
∵∠AEF=∠B，
∴tan∠AEF=tan∠B，
∴即，
∴AD=10，
∴．
∴當(dāng)時，△PBC的周長最小，此時．
點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力和計算能力，題型比較好，綜合性也比較強(qiáng)．