Question

如圖，過矩形ABCD（AD＞AB）的對角線AC的中點O作AC的垂直平分線EF，分別交AD、BC于點E、F，分別連接AF和CE．
（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）過點E作AD的垂線交AC于點P，求證：2AE²=AC•AP．

Answer 1

【答案】分析：（1）由過矩形ABCD（AD＞AB）的對角線AC的中點O作AC的垂直平分線EF，易證得△AOE≌△COF，即可得EO=FO，則可證得四邊形AFCE是平行四邊形，又由EF⊥AC，可得四邊形AFCE是菱形；
（2）由∠AEP=∠AOE=90°，∠EAP=∠OAE，可證得△AOE∽△AEP，又由相似三角形的對應邊成比例，即可證得2AE²=AC•AP．
解答：證明：（1）由已知可知：EF⊥AC，AO=CO，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴EO=FO，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∴四邊形AFCE是菱形；

（2）∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAP=∠OAE，
∴△AOE∽△AEP，
∴，
∴AE²=AO•AP，
又AC=2AO，
∴2AE²=AC•AP．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、矩形的性質、菱形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．