Question

已知：如圖，CE是Rt△ABC的斜邊AB上的高，BG⊥AP．求證：CE²=ED•EP．

Answer 1

證明：∵CE是Rt△ABC的斜邊AB上的高，
∴△ACE∽△CBE，
∴=，即CE²=AE•BE．
∵CE是Rt△ABC的斜邊AB上的高，BG⊥AP，
∴∠P+∠PAE=90°，∠DBE+∠PAE=90°，
∴∠P=∠DBE，
又∵∠AEP=∠DEB=90°，
∴△AEP∽△DEB；
∴=，即AE•BE=ED•EP，
又∵CE²=AE•BE，
∴CE²=ED•EP．
分析：通過相似三角形△ACE∽△CBE的對應邊成比例知=即CE²=AE•BE；由相似三角形△AEP∽△DEB的對應邊成比例知=，即AE•BE=ED•EP；最后根據等量代換即可證得結論．
點評：此題綜合運用了相似三角形的判定和性質．注意：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個三角形和原三角形相似．