Question

如圖，已知一次函數(shù)y=0.5x+2的圖象與x軸交于點A，與二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象交于y軸上的一點B，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸只有唯一的交點C，且OC=2．
（1）求二次函數(shù)y=ax²+bx+c的解析式；
（2）設(shè)一次函數(shù)y=0.5x+2的圖象與二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象的另一交點為D，已知P為x軸上的一個動點，且△PBD為直角三角形，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)y=0.5x+2交x軸于點A，與y軸交于點B，即可得出A，B兩點坐標，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸只有唯一的交點C，且OC=2．得出可設(shè)二次函數(shù)y=ax²+bx+c=a（x-2）²，進而求出即可；
（2）根據(jù)當B為直角頂點，當D為直角頂點，以及當P為直角頂點時，分別利用三角形相似對應(yīng)邊成比例求出即可．
解答：解：（1）∵y=0.5x+2交x軸于點A，
∴0=0.5x+2，
∴x=-4，
與y軸交于點B，
∵x=0，
∴y=2
∴B點坐標為：（0，2），
∴A（-4，0），B（0，2），
∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸只有唯一的交點C，且OC=2
∴可設(shè)二次函數(shù)y=a（x-2）²，
把B（0，2）代入得：a=0.5
∴二次函數(shù)的解析式：y=0.5x²-2x+2；

（2）（Ⅰ）當B為直角頂點時，過B作BP₁⊥AD交x軸于P₁點
由Rt△AOB∽Rt△BOP₁
∴=，
∴=，
得：OP₁=1，
∴P₁（1，0），
（Ⅱ）作P₂D⊥BD，連接BP₂，
將y=0.5x+2與y=0.5x²-2x+2聯(lián)立求出兩函數(shù)交點坐標：
D點坐標為：（5，4.5），
則AD=，
當D為直角頂點時
∵∠DAP₂=∠BAO，∠BOA=∠ADP₂，
∴△ABO∽△AP₂D，
∴=，
=，
解得：AP₂=11.25，
則OP₂=11.25-4=7.25，
故P₂點坐標為（7.25，0）；
（Ⅲ）當P為直角頂點時，過點D作DE⊥x軸于點E，設(shè)P₃（a，0）
則由Rt△OBP₃∽Rt△EP₃D
得：，
∴，
∵方程無解，
∴點P₃不存在，
∴點P的坐標為：P₁（1，0）和P₂（7.25，0）．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用以及求函數(shù)與坐標軸交點和相似三角形的與性質(zhì)等知識，根據(jù)已知進行分類討論得出所有結(jié)果，注意不要漏解．