Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知矩形ABCD的兩個頂點B、C的坐標分別是B（1，0）、C（3，0）．直線AC與y軸交于點G（0，6）．動點P從點A出發，沿線段AB向點B運動．同時動點 Q從點C出發，沿線段CD向點D運動．點P、Q的運動速度均為每秒1個單位，運動時間為t秒．過點P作PE⊥AB交AC于點E．
（1）求直線AC的解析式；
（2）當t為何值時，△CQE的面積最大？最大值為多少？
（3）在動點P、Q運動的過程中，當t為何值時，在矩形ABCD內（包括邊界）存在點H，使得以C、Q、E、H為頂點的四邊形是菱形？

Answer 1

【答案】分析：（1）設直線AC的解析式為y=kx+b，將G（0，6）、C（3，0）兩點代入，即可求出k、b的值，從而得到一次函數解析式．
（2）將△CQE的底和高用含x的代數式表示出來，列出關于x的二次函數解析式，求最值即可．
（3）求出CM的關于t的表達式，根據四邊形CQEH為菱形求得H=CQ=t，再利用勾股定理求出t的值即可．
解答：解：（1）設直線AC的解析式為y=kx+b．
∵直線AC經過G（0，6）、C（3，0）兩點，
∴
解這個方程組，得
∴直線AC的解析式為y=-2x+6． 
（2）當x=1時，y=4．
∴A（1，4）．
∵AP=CQ=t，
∴點P（1，4-t）．
將y=4-t代入y=-2x+6中，得點E的橫坐標為x=．
∴點E到CD的距離為．
∴S_△CQE===．
∴當t=2時，S_△CQE最大，最大值為1．
（3）過點E作FM∥DC，交AD于F，交BC于M．
當點H在點E的下方時，連結CH．
∵EM=4-t，
∴HM=4-2t．
∵，
∴．
∵四邊形CQEH為菱形，
∴CH=CQ=t．
在Rt△HMC中，由勾股定理得CH²=HM²+CM²．
∴．
整理得 13t²-72t+80=0．
解得 ，t₂=4（舍）．
∴當時，以C，Q，E，H為頂點的四邊形是菱形．
當點H在點E的上方時，同理可得當時．以C，Q，E，H為頂點的四邊形是菱形．
∴t的值是或．
點評：本題考查了一次函數綜合題，包括待定系數法求一次函數解析式、二次函數最值、菱形的性質，難度較大．