Question

一開(kāi)口向上拋物線與x軸交于A（m-2，0），B（m+2，0）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)C，且AC⊥BC．
（1）若m為常數(shù)，求拋物線解析式．
（2）點(diǎn)Q在直線y=kx+1上移動(dòng)，O為原點(diǎn)，當(dāng)m=4時(shí)，直線上只存在一個(gè)點(diǎn)Q使得∠OQB=90°，求此時(shí)直線解析式．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-m）²-2，由AC⊥BC，由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知：△ACB為等腰直角三角形，可解得B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出a的值；
（2）當(dāng)m=4時(shí)，y=kx+1與x軸交于H，于y軸交于E（0.1），設(shè)OB中點(diǎn)為G，以O(shè)B為直徑作⊙G，由已知直線上只存在一個(gè)點(diǎn)Q使得∠OQB=90°，即切點(diǎn)，根據(jù)勾股定理和相似三角形求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，從而求出此時(shí)直線解析式．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-m）²-4a，
∵AC⊥BC，
∵由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知：△ACB為等腰直角三角形，
又∵A（m-2，0），B（m+2，0）
∴AB=4，
∴y=a（x-m）²-4a，得a=

1

2

．
∴解析式為：y=

1

2

x2-mx+

1

2

m2-2；

（2）當(dāng)m=4時(shí)，B（6，0），y=kx+1與x軸交于H，與y軸交于E（0，1），
設(shè)OB中點(diǎn)為G，以O(shè)B為直徑作⊙G，
當(dāng)直線與⊙G切于點(diǎn)Q時(shí)，只存在一個(gè)點(diǎn)Q使∠OQB=90°，
設(shè)HO=t，∵HQ是⊙G切線，
∴∠EOH=HQG=90°，
又∵∠OHE=∠QHG，
∴△HOE∽△HQG，
∴

OE

OH

=

QG

HQ

，
由QG=3，OE=1，代入得HQ=3t，
在△HQG中，HQ²+QG²=HG²，即（3t）²+3²=（t+3）²，
整理得4t²-3t=0，
解得：t=

3

4

，或t=0（舍去），
所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-

3

4

，0），
把H（-

3

4

，0）代入y=kx+1得：k=

4

3

，
所以此時(shí)直線解析式為y=

4

3

x+1．

點(diǎn)評(píng)：本題二次函數(shù)的綜合題，涉及到知識(shí)點(diǎn)求解拋物線的解析式，分類(lèi)討論思想，此題不是很難，但要仔細(xì)．