Question

如圖，已知直線y=-x+2與x軸、y軸分別交于點A和點B，另已知直線y=kx+b（k≠0）經過點C（1，0），且把△AOB分成兩部分．
（1）若△AOB被分成的兩部分面積相等，求k和b的值；
（2）若△AOB被分成的兩部分面積比為1：5，求k和b的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）△AOB被分成的兩部分面積相等，那么被分成的兩部分都應該是三角形AOB的面積的一半，那么直線y=kx+b（k≠0）必過B點，因此根據B，C兩點的函數關系式可得出，直線的函數式．
（2）若△AOB被分成的兩部分面積比為1：5，那么被分成的兩部分中小三角形的面積就應該是大三角形面積的，已知了直線過C點，那么小三角形的底邊是大三角形的OB邊的一半，那么小三角形的高應該是OA的，即直線經過的這點的縱坐標應該是．那么這點應該在y軸和AB上，可分這兩種情況進行計算，運用待定系數法求函數的解析式．
解答：解：（1）由題意知：直線y=kx+b（k≠0）必過C點，
∵C是OA的中點，
∴直線y=kx+b一定經過點B，C，把B，C的坐標代入可得：
，
解得k=-2，b=2；

（2）∵S_△AOB=×2×2=2，
∵△AOB被分成的兩部分面積比為1：5，那么直線y=kx+b（k≠0）與y軸或AB交點的縱坐標就應該是：2×2×=，
當y=kx+b（k≠0）與直線y=-x+2相交時：
當y=時，直線y=-x+2與y=kx+b（k≠0）的交點的橫坐標就應該是-x+2=，
∴x=，
即交點的坐標為（，），
又根據C點的坐標為（1，0），可得：
，
∴，
當y=kx+b（k≠0）與y軸相交時，交點的坐標就應該是（0，），又有C點的坐標（1，0），可得：
，
∴，
因此：k=2，b=-2或k=-，b=．
點評：本題的關鍵是弄清楚三角形AOB被分成兩部分的面積比不同時，所求直線與y軸和已知直線的交點的縱坐標是多少．