Question

如圖，邊長為12的正三角形ABC內接于圓，弦DE∥BC分別交AB，AC于F，G，若AF長x，DF長y都是正整數，則y的值為

1. A.
   2
2. B.
   3
3. C.
   4
4. D.
   6

Answer 1

C
分析：由已知可得DE=x+2y，過O點作OH⊥BC，垂足為H，連接OB，根據已知條件可求半徑OB，由DE≤2OB，列不等式，再根據相交弦定理及x、y為正整數求解．
解答：解：過O點作OH⊥BC，垂足為H，連接OB，
在Rt△OBH中，BH=BC=6，∠OBH=∠ABC=30°，
∴OB==4，
根據圓的對稱性及等邊三角形的性質可知，DE=x+2y，
由DE≤2OB，得x+2y≤8≈13.8，
又由相交弦定理，得AF×BF=DF×FE，
即x（12-x）=y（x+y），
當x=1時，方程為y²+y-11=0，y無正整數解，
當x=2時，方程為y²+2y-20=0，y無正整數解，
當x=3時，方程為y²+3y-27=0，y無正整數解，
當x=4時，方程為y²+4y-32=0，y=-8或4（舍去負數），
而x=4，y=4滿足x+2y≤8，
故選C．
點評：本題考查了三角形外接圓的性質，等邊三角形的性質，相交弦定理的運用．關鍵是明確DE的取值范圍，根據x、y為正整數，分類討論．