Question

在 平面直角坐標系中，直線y=-3x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，以B為頂點作∠CBA=∠CAB交x軸負半軸于點C．
（1）求點A、B的坐標；
（2）D為線段AB上一點，過點D作DE∥x軸交BC于點E，DF∥y軸交x軸于點F，設D的橫坐標為m，求DE和DF的長（用m的代數式表示）；
（3）D為直線AB上一點，過點D作DE∥x軸交BC于點E，DF∥y軸交x軸于點F，設D的橫坐標為m，若DE＞DF，試求m的范圍．

Answer 1

解：（1）∵直線y=-3x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴當y=0時，x=1；當x=0時，y=3，
∴點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（0，3）；

（2）∵D為線段AB上一點，DF∥y軸交x軸于點F，D的橫坐標為m，直線AB的解析式為y=-3x+3，
∴點F的坐標為（m，0），點D的坐標為（m，-3m+3），
∴DF=-3m+3（0≤m≤1）．
∵∠CBA=∠CAB，∴AC=BC．
設C點坐標為（x，0），則（1-x）²=x²+3²，
解得x=-4，即C點坐標為（-4，0）．
設直線BC的解析式為y=kx+b，
將B（0，3），C（-4，0）代入，
得，解得，
∴直線BC的解析式為y=x+3，
當y=-3m+3時，x+3=-3m+3，
解得x=-4m，
∴點E的坐標為（-4m，-3m+3），
∴DE=m-（-4m）=5m；

（3）分三種情況討論：
①當m≤0時，如右圖；
∵點F的坐標為（m，0），點D的坐標為（m，-3m+3），
∴DF=-3m+3，
∵點E的坐標為（-4m，-3m+3），
∴DE=-4m-m=-5m．
由DE＞DF，得-5m＞-3m+3，
解得m＜-；
②當0＜m≤1時，如題目圖；
∵點F的坐標為（m，0），點D的坐標為（m，-3m+3），
∴DF=-3m+3，
∵點E的坐標為（-4m，-3m+3），
∴DE=m-（-4m）=5m，
由DE＞DF，得5m＞-3m+3，
解得m＞，
∴＜m≤1；
③當m＞1時，如右圖；
∵點F的坐標為（m，0），點D的坐標為（m，-3m+3），
∴DF=3m-3，
∵點E的坐標為（-4m，-3m+3），
∴DE=m-（-4m）=5m．
由DE＞DF，得5m＞3m-3，
解得m＞-，
∴m＞1．
綜上可知當m＜-或m＞時，DE＞DF．
分析：（1）由直線y=-3x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，根據x軸上點的縱坐標為0，y軸上點的橫坐標為0，即可求出點A、B的坐標；
（2）先由D的橫坐標為m，得出點F的坐標為（m，0），根據直線AB的解析式為y=-3x+3，得出點D的坐標為（m，-3m+3），再運用待定系數法求出直線BC的解析式，由E與D的縱坐標相同求出E點坐標，然后求出DE和DF的長；
（3）分三種情況討論：①m≤0；②0＜m≤1；③m＞1．分別求出DE和DF的長，根據DE＞DF列出關于m的不等式，解不等式即可．
點評：本題是一次函數的綜合題型，其中涉及到運用待定系數法求一次函數的解析式，一次函數圖象上點的坐標特征，平行于坐標軸上的任意兩點之間的距離，難度適中，要注意的是（3）中，要根據D點的不同位置進行分類求解．