Question

在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90⁰，將一塊等腰直角三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處，將三角板繞點P旋轉，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點。圖①，②，③是旋轉三角板得到的圖形中的3種情況。

研究：

（1）三角板繞點P旋轉，觀察線段PD和PE之間有什么數量關系？并結合圖②加以證明。

（2）三角板繞點P旋轉，△PBE是否能成為等腰三角形？若能，指出所有情況（即寫出△PBE為等腰三角形時CE的長）；若不能，請說明理由。

（3）若將三角板的直角頂點放在斜邊AB上的M處，且AM：MB＝1：3，和前面一樣操作，試問線段MD和ME之間有什么數量關系？并結合圖④加以證明。

　

Answer 1

解：（1）連結PC

    ∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中點

   

   

   

   

   

     

    （2）共有四種情況

    ①當點C與點E重合，即CE＝0時，PE＝PB

    

    ③當CE＝1時，此時PE＝BE

     

    （3）MD：ME＝1：3