Question

如圖，在△AOC中，AC=OC，O是坐標原點，點C在x軸上，點A坐標是（1，3），則點C的坐標是________．若A點在雙曲線（x＞0）上，AC與雙曲線交于點B，點E是線段OA上一點（不與O，A重合），設點D（m，0）是x軸正半軸上的一個動點，且滿足∠BED=∠AOC，當線段OA上符合條件的點E有且僅有2個時，m的取值范圍是________．

Answer 1

（5，0）    0＜m＜
分析：首先過點A作AH⊥x軸于點H，過點C作CF⊥OA于點F，易得△AOH∽△COF，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求得OC的長，即可得點C的坐標；
由∠BED=∠AOC，AC=OC，易證得△ABE∽△OED，由A與C的坐標，可求得直線AC與反比函數的解析式，繼而求得點B的坐標，即可求得AB的長，然后設AE=x，由相似三角形的對應邊成比例，可得方程：x²-x+m=0，然后由判別式△＞0，求得m的取值范圍．
解答：解：過點A作AH⊥x軸于點H，過點C作CF⊥OA于點F，
∵AC=OC，
∴CF⊥OA，
∴∠CFO=∠AHO=90°，
∵∠AOH=∠COF，
∴△AOH∽△COF，
∴，
∵點A坐標是（1，3），
∴OA==，
∴OF=OA=，
∴OC==5，
∴點C的坐標為：（5，0）；
∵AC=OC，
∴∠BAE=∠AOC，
∵∠OEC=∠BED+∠OED=∠BAE+∠ABE，∠BED=∠AOC，
∴∠OED=∠ABE，
∴△ABE∽△OED，
∴AE：OD=AB：OE，
設AE=x，則OE=-x，
∵點A（1，3），點C（5，0），
∴設直線AC的解析式為：y=kx+b，
即，
解得：，
即y=-x+①，
∵點A在反比例函數圖象上，
∴此反比例函數的解析式為：y=②，
聯立①②得：x=4或x=1（舍去），
∴點B的坐標為：（4，），
∴AB==，
∴x：m=：（-x），
即x²-x+m=0，
∵線段OA上符合條件的點E有且僅有2個，
∴判別式△=（-）²-4×1×m=10-15m＞0，
解得：m＜，
∵點E是線段OA上一點（不與O，A重合），
∴m＞0，
∴m的取值范圍是：0＜m＜．
故答案為：（5，0）；0＜m＜．
點評：此題考查了待定系數法求一次函數與反比例函數的解析式、相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、三角形外角的性質以及判別式的性質．此題難度較大，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．