Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點H在⊙O上，E是  的中點，過點E作EC⊥AH，交AH的延長線于點C．連接AE，過點E作EF⊥AB于點F．
（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）若FB=2，tan∠CAE=，求OF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OE，由于點E為弧HB的中點，根據圓周角定理可知∠1=∠2，而OA=OE，那么∠3=∠2，于是∠1=∠3，根據平行線的判定可知OE∥AC，而AC⊥CE，根據平行線的性質易知∠OEC=90°，即OE⊥CE，根據切線的判定可知CE是⊙O的切線；
（2）由于AB是直徑，那么∠AEB=90°，而EF⊥AB，易知∠1=∠2=∠4，那么tan∠1=tan∠2=tan∠4=，在Rt△EFB中，利用正切可求EF，同理在Rt△AEF中，也可求AF，那么直徑AB=6，從而可知半徑OB=3，進而可求OF．
解答：（1）證明：連接OE，
∵點E為弧HB的中點，
∴∠1=∠2，
∵OE=OA，
∴∠3=∠2，
∴∠3=∠1，
∴OE∥AC，
∵AC⊥CE，
∴OE⊥CE，
∵點E在⊙O上，
∴CE是⊙O的切線；     
（2）解：連接EB，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∵EF⊥AB于點F，
∴∠AFE=∠EFB=90°，
∴∠2+∠AEF=∠4+∠AEF=90°，
∴∠2=∠4=∠1．
∵tan∠CAE=，
∴tan∠4=，
在Rt△EFB中，∠EFB=90°，FB=2，tan∠4=，
∴EF=，
在Rt△AEF中，tan∠2=，EF=2，
∴AF=4，
∴AB=AF+EF=6，
∴OB=3，
∴OF=OB-BF=1．
點評：本題考查了平行線的判定和性質、切線的判定、正切的計算、原周角定理，解題的關鍵是證明OE∥AC，以及求出∠1=∠2=∠4，熟悉直角三角形中正切的表示．