Question

已知：反比例函數y=

2

x

和y=

8

x

在平面直角坐標系xOy第一象限中的圖象如圖所示，點A在y=

8

x

的圖象上，AB∥y軸，與y=

2

x

的圖象交于點B，AC、BD與x軸平行，分別與y=

2

x

、y=

8

x

的圖象交于點C、D．
（1）若點A的橫坐標為2，求直線CD的解析式：
（2）若點A的橫坐標為m，梯形ACBD的對角線的交點F，求

S△OBC

S梯形ACBD

的值．

Answer 1

分析：（1）先利用點A在y=

8

x

的圖象上可確定A點坐標為（2，4），則根據AC∥x軸，AB∥y軸得到C點的縱坐標為4，B點的橫坐標為2，再利用C、B在y=

2

x

的圖象上可確定C點坐標為（

1

2

，4），B點坐標為（2，1）；由于BD∥x軸，則D點的縱坐標與B的縱坐標相等，根據D點在y=

8

x

的圖象上可確定D點坐標為（8，1），然后利用待定系數法求出直線CD的解析式；
（2）作CM⊥y軸于M，BN⊥y軸于N，與（1）的方法一樣可確定A點坐標為（m，

8

m

），C點坐標為（

m

4

，

8

m

），B點坐標為（m，

2

m

），D點坐標為（4m，

2

m

），根據比例系數的幾何意義得到S_△OCN=S_△OBM=1，根據梯形的面積公式得到S_梯形BMNC=

15

4

，S_梯形ACBD=

45

4

；再利用S_{四邊形BONC}=S_△ONC+S_△OBC=S_梯形BMNC+S_△OBM得S_△OBC=S_梯形BMNC=

15

4

，最后計算

S△OBC

S梯形ACBD

的值．

解答：解：（1）把x=2代入y=

8

x

得y=4，則A點坐標為（2，4），
∵AC∥x軸，AB∥y軸，
∵C點的縱坐標為4，B點的橫坐標為2，
把y=4代入y=

2

x

得x=

1

2

；把x=2代入y=

2

x

得y=1，
∴C點坐標為（

1

2

，4），B點坐標為（2，1），
∵BD∥x軸，
∴D點的縱坐標與B的縱坐標相等，
把y=1代入y=

8

x

得x=8，
∴D點坐標為（8，1），
設直線DC的解析式為y=kx+b，
把C（

1

2

，4）、D（8，1）代入

1 2 k+b=4 8k+b=1

，解得

k=- 2 5 b= 21 5

，
∴直線DC的解析式為y=-

2

5

x+

21

5

；

（2）作CM⊥y軸于M，BN⊥y軸于N，如圖，
當點A的橫坐標為m，與（1）的方法一樣可確定A點坐標為（m，

8

m

），C點坐標為（

m

4

，

8

m

），B點坐標為（m，

2

m

），D點坐標為（4m，

2

m

），
∴AC=m-

m

4

=

3m

4

，BD=4m-m=3m，AB=

8

m

-

2

m

=

6

m

，
∴S_梯形ACBD=

1

2

（

3m

4

+3m）•

6

m

=

45

4

；
∵S_△OCN=S_△OBM=

1

2

×2=1，S_梯形BMNC=

1

2

（

3m

4

+m）•

6

m

=

15

4

，
而S_{四邊形BONC}=S_△ONC+S_△OBC=S_梯形BMNC+S_△OBM，
∴S_△OBC=S_梯形BMNC=

15

4

，
∴

S△OBC

S梯形ACBD

=

15 4

45 4

=

1

3

．

點評：本題考查了反比例函數的綜合題：掌握反比例函數圖象上點的坐標特征、比例系數的幾何意義和待定系數法求函數的解析式；記住梯形的面積公式和運用幾何圖形的面積和差求不規則幾何圖形的面積．