Question

已知，如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，CE=CD，點F為CE的中點，點G為CD上的一點，連接DF、EG、AG，∠1=∠2．
（1）若CF=2，AE=3，求BE的長；
（2）求證：∠CEG=∠AGE．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出DC=CE=2CF=4，求出AB，根據勾股定理求出BE即可；
（2）過G作GM⊥AE于M，證△DCF≌△ECG，推出CG=CF，求出M為AE中點，得出等于三角形AGE，根據性質得出GM是∠AGE的角平分線，即可得出答案．
解答：（1）解：∵CE=CD，點F為CE的中點，CF=2，
∴DC=CE=2CF=4，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD=4，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE==；

（2）證明：過G作GM⊥AE于M，
∵AE⊥BE，
∴GM∥BC∥AD，
∵在△DCF和△ECG中，
，
∴△DCF≌△ECG（AAS），
∴CG=CF，
∵CE=CD，CE=2CF，
∴CD=2CG
即G為CD中點，
∵AD∥GM∥BC，
∴M為AE中點，
∵GM⊥AE，
∴AM=EM，
∴∠AGE=2∠MGE，
∵GM∥BC，
∴∠EGM=∠CEG，
∴∠CEG=∠AGE．
點評：本題考查了平行四邊形性質，等于三角形的性質和判定，平行線分線段成比例定理，全等三角形的性質和判定，勾股定理等知識點的應用，主要考查學生綜合運用定理進行推理的能力．