Question

已知：二次函數y=a（x-1）²+4的圖象如圖所示，拋物線交y軸于點C，交x軸于A、B兩點，用A點坐標為（-1，0）．
（1）求a的值及點B的坐標．
（2）連接AC、BC，E是線段OC上的動點（不與O、C兩點重合），過E點作直線PE⊥y軸交線段AC于點P，交線段BC于點Q．求證：=．
（3）設E點的坐標為（0，n），在線段AB上是否存在一點R，使得以P、Q、R為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出n的值，并畫出相應的示意圖；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把A點坐標為（-1，0）代入y=a（x-1）²+4，可求得a=-1，然后令y=0，得到-（x-1）²+4=0，解方程得到x₁=-1，x₂=3，即可得到B點坐標；
（2）由直線PE⊥y軸交線段AC于點P，交線段BC于點Q，得到PQ∥AB，則△CPQ∽△CAB，即可得到結論；
（3）利用待定系數法分別求出直線BC的解析式為：y=-x+3；直線AC的解析式為：y=-3x+3；由E點的坐標為（0，n），0＜n＜3，得到P點坐標為（-1，n），Q點的坐標為（3-n，n），則QP=3-n-（-1）=4-；若以P、Q、R為頂點的三角形與△BOC相似，則以P、Q、R為頂點的三角形為等腰直角三角形，然后分類討論：當∠PQR=90°，QR=QP，得到n=4-；當∠PRQ=90°，RP=RQ，過R作RH⊥PQ于H，根據HR=PQ，得到n=（4-），分別解方程可得到n的值和對應的R點的坐標．
解答：（1）解：把A點坐標為（-1，0）代入y=a（x-1）²+4，得a（-1-1）²+4=0，解得a=-1，
∴y=-（x-1）²+4，
令y=0，-（x-1）²+4=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴B點坐標為（3，0）；

（2）證明：∵直線PE⊥y軸交線段AC于點P，交線段BC于點Q，
∴PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴=；

（3）解：在線段AB上存在一點R，使得以P、Q、R為頂點的三角形與△BOC相似．理由如下
對于y=-（x-1）²+4，令x=0，y=3，
∴C點坐標為（0，3），
∴△OBC為等腰直角三角形，
設直線BC的解析式為：y=kx+b，
把B（3，0），C（0，3）代入得，，
解得k=-1，b=3，
∴直線BC的解析式為：y=-x+3；
同理可得直線AC的解析式為：y=-3x+3；
∵E點的坐標為（0，n），0＜n＜3，
∴P點坐標為（-1，n），Q點的坐標為（3-n，n），
∴QP=3-n-（-1）=4-；
若以P、Q、R為頂點的三角形與△BOC相似，
∴以P、Q、R為頂點的三角形為等腰直角三角形，
當∠PQR=90°，QR=QP，如圖，
∵PQ∥AB，
∴QR⊥AB，
∴QR=OE=n，
∴n=4-，
解得n=，
∴R的坐標為（，0），
當∠QPR=90°，PQ=PR，同理可得n=，得P點坐標為（-，），則R點坐標為（-，0）；
當∠PRQ=90°，RP=RQ，過R作RH⊥PQ于H，如圖，
∴HR=PQ，
∴n=（4-），
解得n=，
∴P點的坐標為（-，），Q點的坐標為（，），
∴R點的坐標為（，0）．
所以當n=，R的坐標為（，0）或（-，0）；當n=，R點的坐標為（，0）．
點評：本題考查了求二次函數與坐標軸的交點坐標的方法；也考查了利用待定系數法求直線解析式、三角形相似的判定與性質以及等腰直角三角形的性質．