Question

如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點R為DE的中點，BR分別交AC、CD于點P、Q．
（1）求證：△PCQ∽△RDQ；
（2）求BP：PQ：QR的值．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ACED是平行四邊形，可得AC∥DE，又由平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似，即可證得：△PCQ∽△RDQ；
（2）由四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，可證得△PBC∽△RBE，繼而可得

PC

RE

=

BC

BE

=

1

2

，PB=PR，又由點R為DE的中點，△PCQ∽△RDQ，可得

PQ

QR

=

PC

DR

=

PC

RE

=

1

2

，繼而可求得BP：PQ：QR的值．

解答：（1）證明：∵四邊形ACED是平行四邊形，
∴AC∥DE，
∴△PCQ∽△RDQ；

（2）解：∵四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，
∴BC=AD=CE，AC∥DE，
∴△PBC∽△RBE，
∴

PB

PR

=

BC

CE

，

PC

RE

=

BC

BE

=

1

2

，
∴RB=2PB，
∵點R為DE的中點，△PCQ∽△RDQ，
∴

PQ

QR

=

PC

DR

=

PC

RE

=

1

2

，
∴QR=2PQ，
∵BP=PR=PQ+QR=3PQ，
∴BP：PQ：QR=3：1：2．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質以及平行四邊形的性質．此題難度較大，注意掌握數形結合思想的應用．