Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，把矩形COAB繞點C順時針旋轉α角，得到矩形CFED．設FC與AB交于點H，且A（0，4），C（6，0）（如圖1）．
（1）當α=60°時，△CBD的形狀是

 

；
（2）當AH=HC時，求直線FC的解析式；
（3）當α=90°時，（如圖2）．請探究：經過點D，且以點B為頂點的拋物線，是否經過矩形CFED的對稱中心M，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）可利用旋轉前后對應線段相等得出BC=CD，∠BCD=60°，所以△CBD為等邊三角形；
（2）可利用勾股定理求出H點坐標，從而求出FC的解析式；
（3）因為已知拋物線頂點的坐標，故而設y=a（x-6）²+4，把點D坐標代入可求出a值．然后可求出函數解析式，然后再把M點坐標代入檢驗．

解答：解：（1）∵圖形旋轉后BC=CD，∠BCD=∠α=60°
∴△BCD是等邊三角形；

（2）設AH=x，則HB=AB-AH=6-x，
依題意可得：AB=OC=6，BC=OA=4，
在Rt△BHC中，HC²=BC²+HB²，
即x²-（6-x）²=16，
解得x=

13

3

．
∴H（

13

3

，4）．
設y=kx+b，把H（

13

3

，4），C（6，0）代入y=kx+b，
得

13 3 k+b=4 6k+b=0

解得

k=- 12 5 b= 72 5

∴y=-

12

5

x+

72

5

．

（3）拋物線頂點為B（6，4），
設y=a（x-6）²+4，
把D（10，0）代入得：a=-

1

4

．
∴y=-

1

4

（x-6）²+4（或y=-

1

4

x²+3x-5）．
依題可得，點M坐標為（8，3），
把x=8代入y=-

1

4

（x-6）²+4，得y=3．
∴拋物線經過矩形CFED的對稱中心M．

點評：本題為關于旋轉的綜合題．考查了等邊三角形的判定、一次函數解析式的確定、矩形的性質等知識．