Question

如圖，矩形紙片ABCD中，AB=5，BC=3，點E在AD邊上，將紙片沿BE折疊，使點A落在CD邊上的F處．下列結論中：
①DE=

4

3

；②tan∠EBF=

1

3

；③四邊形ABFE的面積是矩形ABCD的面積的一半；④若在折痕BE上有點Q，使得△BFQ為等腰三角形，則EQ必然為

5

3

10

-5；⑤若在折痕BE上有點P到邊CD的距離與到點A的距離相等，則此相等距離為1.8．以上結論一定正確的個數為（　　）

A．2個

B．3個

C．4個

D．5個

Answer 1

分析：首先計算出CF的長，再在△DEF中用勾股定理即可算出DE的長，進而判斷出①的正誤；根據①中計算的DE的長，可以表示出EF和AE的長，進而可以表示出tan∠EBF，可判斷出②的正誤；根據前面計算的AE長，計算出四邊形ABFE的面積，再計算出矩形ABCD的面積，可判斷出③的正誤；在折痕BE上有點Q，使得△BFQ為等腰三角形可有兩種情況，一種情況一定錯誤；再由翻折變換的性質得出F、A′重合，分別延長BE，DC相交于點G，由平行線的性質可得出GA′=BA′=AB=5，再根據相似三角形的判定定理得出△BCG∽△PA′G，求出其相似比，進而可求出答案．

解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC=AB=5，AD=BC=3，
根據折疊可得BF=AB=5，
在Rt△BFC中：FC=

FB2-BC2

=

25-9

=4，
則DF=5-4=1，
設DE=x，則AE=EF=3-x，
1²+x²=（3-x）²，
解得：x=

4

3

，故①正確；

∵ED=

4

3

，AD=3，
∴AD=EF=3-

4

3

=

5

3

，
tan∠EBF=

EF

FB

=

5 3

5

=

1

3

，故②正確；

根據折疊可得四邊形ABFE的面積=2S_△ABE=2×

1

2

×AB×AE=2×

1

2

×5×

5

3

=

25

3

，
是矩形ABCD的面積=3×5=15，
故③錯誤；

在折痕BE上有點Q，使得△BFQ為等腰三角形可有兩種情況：
一種是BF=BQ，另一種是QF=QB，
故④錯誤；

如圖所示，設PF⊥CD，
∵AP=FP，
由翻折變換的性質可得AP=A′P，
∴FP=A′P，
∴FP⊥CD，
∴A′，F，P三點構不成三角形，
∴F，A′重合分別延長BE，DC相交于點G，
∵AB平行于CD，
∴∠ABG=∠BGC，
∵∠ABG=∠A′BG，BGD=∠A′BG，
∴GA′=BA′=AB=5，
∵PA′（PF）⊥CD，
∴PA′∥BC，
∴△BCG∽△PA′G，
∵Rt△BCA′中，BA′=5，BC=3，
∴CA′=4，CG=CA′+A′G=3+5=9，
∴△BCG與△PA′G的相似比為9：5，
∴BC：PA′=9：5，
∵BC=3，
∴PA′=

5

3

，即相等距離為

5

3

，故⑤錯誤．
故正確的有2個．
故選：A．

點評：本題考查了圖形翻折變換的性質及相似三角形的判定與性質，根據題意畫出圖形，作出輔助線，利用數形結合求解是解答此題的關鍵．