Question

如圖，△ABC中，AB=AC，AD交BC邊于點M，BD=AC，∠BAC=∠ABD=120°，則BM：MC的值是    ； 作△ABC的中線CF交AM于G，則CG：GF的值是    ．

Answer 1

【答案】分析：過點A作AE⊥BC于E，先根據等腰三角形的性質得出BE=CE，再由AAS證明出△AME≌△DMB，得出EM=BM，進而求出BM：MC的值；
作△ABC的中線CF交AM于G，設CF與AE交于點H，連接FM．先根據三角形的中位線定理得出FM∥BD，FM=BD，再由AE∥BD，得出FM∥AE，然后根據平行線分線段成比例定理，求得CH=2HF，=，進而求出CG：GF的值．
解答：解：過點A作AE⊥BC于E．
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴BE=CE，∠C=∠ABC=30°．
設BD=k，則AB=AC=2k．
在△BDM中，∠DBM=∠ABD-∠ABM=120°-30°=90°．
在△ABE中，∵∠AEB=90°，∠ABE=30°，AB=2k，
∴AE=k．
在△AME與△DMB中，
∵，
∴△AME≌△DMB（AAS），
∴EM=BM，
∵CE=BE=BM+EM=2BM，
∴MC=EM+CE=3BM，
∴BM：MC=BM：3BM=；
如圖，作△ABC的中線CF交AM于G，設CF與AE交于點H，連接FM．
∵EM=BM，AF=BF，
∴FM∥BD，FM=BD=k．
∵AE∥BD，
∴FM∥AE，
∴==2，==，
∴CH=2HF，HE=FM=×k=k，
∴AH=AE-HE=k-k=k．
∵===，
令HG=4t，則GF=3t，HF=7t，CH=14t，
∴CG=CH+HG=18t，
∴CG：GF=18t：3t=6．
故答案為；6．
點評：本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質，平行線分線段成比例定理，綜合性較強，有一定難度，正確地作出輔助線是解題的關鍵．