Question

如圖，二次函數y=ax²+bx+c的圖象的頂點為D，其圖象與x軸的交點A、B的橫坐標分別為-1，3，與y軸交于點C，下面五個結論：①abc＜0；②2a+b=0； ③a+b+c＜0；④c=-3a；⑤只有a=時，△ABD是等腰直角三角形，其中正確的結論有（ ）

A．2個
B．3個
C．4個
D．5個

Answer 1

【答案】分析：由于拋物線開口向上得到a＞0；利用對稱軸為直線x=-＞0得到b＜0，由拋物線與y軸的交點在x軸下方得到c＜0，則可對①進行判斷；
由于拋物線與x軸的交點A、B的橫坐標分別為-1，3，得到對稱軸為直線x=1，則-=1，即2a+b=0，可對②進行判斷；
當x=1時，y＜0，可對③進行判斷；
當x=-1時，y=0，即a-b+c=0，而b=-2a，可得到a與c的關系，可對④進行判斷；
由a=，則b=-1，c=-，對稱軸x=1與x軸的交點為E，先求出頂點D的坐標，然后利用三角形邊的關系可得到△ADE和△BDE都為等腰直角三角形，于是可對⑤進行判斷．
解答：解：∵拋物線開口向上，
∴a＞0；
∵對稱軸為直線x=-＞0，
∴b＜0，
∵拋物線與y軸的交點在x軸下方，
∴c＜0，則abc＞0，所以①錯誤；
∵拋物線與x軸的交點A、B的橫坐標分別為-1，3，
∴拋物線的對稱軸為直線x=1，則-=1，即2a+b=0，所以②正確；
∴當自變量取1時，對應的函數圖象在x軸下方，
∴x=1時，y＜0，則a+b+c＜0，所以③正確；
∵A點坐標為（-1，0），
∴a-b+c=0，而b=-2a，
∴a+2a+c=0，即c=-3a，所以④正確；
當a=，則b=-1，c=-，對稱軸x=1與x軸的交點為E，如圖，
∴拋物線的解析式為y=x²-x-，
把x=1代入得y=-1-=-2，
∴D點坐標為（1，-2），
∴AE=2，BE=2，DE=2，
∴△ADE和△BDE都為等腰直角三角形，
∴△ADB為等腰直角三角形，所以⑤正確．
故選C．
點評：本題考查了二次函數y=ax²+bx+c的圖象與系數的關系：當a＞0，拋物線開口向上；拋物線的對稱軸為直線x=-；拋物線與y軸的交點坐標為（0，c）．