Question

（本小題滿分15分）如圖1，拋物線經過點A和點B.已知點A的坐標是（2，4），點B的橫坐標是－2.

（1）求的值及點B的坐標； 
（2）設點D為線段AB上的一個動點，過D作x軸的垂線,垂足為點H.在DH的右側作等邊△DHG. 將過拋物線頂點Ｍ的直線記為，設與x軸交于點N.
① 如圖1，當動點D的坐標為(1，2)時，若直線過△DHG的頂點G.求此時點N的橫坐標是多少？
② 若直線與△DHG的邊DG相交，試求點N橫坐標的取值范圍.

Answer 1

（1）∵點A（2，4）在拋物線上，


∴代入得="1                        "         ……………………………1分
于是拋物線的解析式為
又∵點B的橫坐標為－2，代入得 ∴ B(－2,－4)    ………………2分
（2）①由題意M(1，5)，D(1，2)，且DH⊥x軸，
∴點M在DH上，MH="5."
過點G作GE⊥DH，垂足為E.
∵△DHG是正三角形，可得EG=, EH=1，
∴ME＝4.                   
設N ( x，0 )，則NH＝x－1,
由△MEG∽△MHN，得.                      ………………5分
∴, 解得
∴點N的橫坐標為．                       ……………………6分
②如右圖，當點D運動至與點A重合時，直線與DG交于點G，此時點N的橫坐標最大．
過點G，M作x軸的垂線，垂足分別為點Q，F.設N（x，0）
∵ A (2, 4)，∴G (, 2)
∴ NQ=，NF =，GQ=2，MF =5.
由題意，
△NGQ∽△NMF，
∴.                                     ……………………9分
∴.
∴.                                   ……………………10分
如右圖，當點D運動至與點B重合時，直線與DG交于點D（即點B）此時點N的橫坐標最小. ∵B(－2, －4) ，∴ H(－2, 0)，D(－2, －4).設N（x，0）.由題意△BHN∽△MFN，
∴.                       ……………………13分
∴   ∴       ……………………14分
綜上，點N的橫坐標取值范圍是≤x≤ ……15分解析:
略