Question

（2006•大興安嶺）某公司經營甲、乙兩種商品，每件甲種商品進價12萬元，售價14.5萬元；每件乙種商品進價8萬元，售價10萬元，且它們的進價和售價始終不變．現準備購進甲、乙兩種商品共20件，所用資金不低于190萬元，不高于200萬元．
（1）該公司有哪幾種進貨方案？
（2）該公司采用哪種進貨方案可獲得最大利潤？最大利潤是多少？
（3）若用（2）中所求得的利潤再次進貨，請直接寫出獲得最大利潤的進貨方案．

Answer 1

【答案】分析：（1）關系式為：190≤甲種商品總進價+乙種商品總進價≤200，根據此不等關系列不等式組求解即可；
（2）利潤=甲種商品數量×（14.5-12）+乙種商品數量×（10-8），整理后按（1）中自變量的取值算出最大利潤；
（3）用最大利潤45萬元來進貨，用最大利潤進貨，沒有總件數限制，但要考慮盡量把錢用完．分以下五種情況討論，通過計算比較即可．①全進甲，能購買3件；②全進乙，能購買5件；③甲進1件，同時乙進4件；④甲進2件，同時乙進2件；⑤甲進3件，同時乙進1件．
解答：解：（1）設購進甲種商品x件，乙種商品（20-x）件，根據題意得
190≤12x+8（20-x）≤200
解得7.5≤x≤10
∵x為非負整數
∴x取8，9，10
有三種進貨方案：
①購甲種商品8件，乙種商品12件；
②購甲種商品9件，乙種商品11件；
③購甲種商品10件，乙種商品10件．

（2）設利潤為w元，
則w=x×（14.5-12）+（20-x）×（10-8）=0.5x+40
∴購甲種商品10件，乙種商品10件時，可獲得最大利潤，最大利潤是45萬元．

（3）①全進甲，能購買3件，利潤為（14.5-12）×3=7.5萬元；
②全進乙，能購買5件，利潤為（10-8）×5=10萬元；
③甲進1件，同時乙進4件，利潤為（14.5-12）×1+（10-8）×4=10.5萬；
④甲進2件，同時乙進2件，利潤為2.5×2+2×2=9萬元；
⑤甲進3件，同時乙進1件，利潤為2.5×3+2×1=9.5萬元；
所以購甲種商品1件，乙種商品4件時，可獲得最大利潤為10.5萬元．
點評：解決本題的關鍵是讀懂題意，找到符合題意的不等關系式，及所求量的等量關系．要會用分類的思想來討論問題并能用不等式的特殊值來求得方案的問題．