Question

下列圖中，已知等邊△ABC和等邊△DBC有公共的底邊BC

（1）以圖（1）中的某個點為旋轉中心，旋轉△DBC與△ABC重合，則旋轉中心為______（寫出所有滿足條件的點）
（2）如圖（2），已知B₁是BC的中點，現沿著由B到B₁的方向，將△DBC平移到△D₁B₁C₁的位置，連接AC₁，BD₁得到的四邊形ABD₁C₁是什么特殊四邊形？說明你的理由．
（3）在四邊形ABD₁C₁中有______對全等三角形，請你選出其中一對進行證明．

Answer 1

解：（1）∵等邊△ABC和等邊△DBC有公共的底邊BC，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四邊形ABCD是菱形．
∴要旋轉△DBC，使△DBC與△ABC重合，有三點分別為：B點、C點、BC的中點；

（2）圖中有3對全等三角形，
據平移的性質，得到BB₁=CC₁，
根據等邊三角形的性質，得到AC=B₁D₁，∠BB₁D₁=∠ACC₁，
∴△BB₁D₁≌△ACC₁；

（3）四邊形ABD₁C₁是平行四邊形．理由如下：
據平移的性質，得到BB₁=CC₁，
根據等邊三角形的性質，得到AC=B₁D₁，∠BB₁D₁=∠ACC₁，
∴△BB₁D₁≌△ACC₁，
∴AC₁=BD₁，
又AB=C₁D₁，
∴四邊形ABD₁C₁是平行四邊形．
故答案為B點、C點、BC的中點，3．
分析：（1）根據等邊三角形的性質，得到四邊形ABCD是菱形，從而再根據菱形是中心對稱圖形，得到旋轉中心有B點、C點、BC的中點；
（2）根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可證明；
（3）根據平移的性質，得到BB₁=CC₁，根據等邊三角形的性質，得到AC=B₁D₁，∠BB₁D₁=∠ACC₁，從而得到△BB₁D₁≌△ACC₁，則AB=C₁D₁．
點評：此題綜合考查了平行四邊形的判定、等邊三角形的性質、平移的性質以及旋轉的性質．