Question

華宇公司獲得授權生產某種奧運紀念品，經市場調查分析，該紀念品的銷售量y₁（萬件）與紀念品的價格x（元/件）之間的函數圖象如圖所示，該公司紀念品的生產數量y₂（萬件）與紀念品的價格x（元/件）近似滿足函數關系式y₂=-x+85．若每件紀念品的價格不小于20元，且不大于40元．請解答下列問題：
（1）求y₁與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
（2）當價格x為何值時，使得紀念品產銷平衡（生產量與銷售量相等）；
（3）當生產量低于銷售量時，政府常通過向公司補貼紀念品的價格差來提高生產量，促成新的產銷平衡．若要使新的產銷平衡時銷售量達到46萬件，政府應對該紀念品每件補貼多少元？

Answer 1

解：
（1）設y與x的函數解析式為：y=kx+b，將點A（20，60）、B（36，28）代入y=kx+b得：

解得：
∴y₁與x的函數關系式為：

（2）當20≤x≤36時，有
解得：
當36≤x≤40時，有解得：
∴當價格為30元或38元，可使公司產銷平衡；

（3）當y₁=46時，則46=-x₁+85，∴x₁=26
當y₂=46時，則46=-2x₂+100，∴x₂=27
∴x₂-x₁=1
∴政府對每件紀念品應補貼1元．
分析：（1）設y與x的函數解析式為y=kx+b，將已知坐標代入求出k，b即可；
（2）本題考查的是分段函數的應用．要注意當x的取值范圍不同，所得的解也不同；
（3）分別假設y₁、y₂值為46，求出x的差值．
點評：本題是一道函數應用題，考查的知識有函數、不等式、方程等．要求考生在仔細閱讀題設文字，認真弄清函數圖象的基礎上，通過建立方程組模型才能解決所求問題．此題取材于當前現實生活實際，體現了數學的應用價值，大大地激發了學生學好數學的信心和決心．