Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑， = ，AB=2，連接AC．
（1）求證：∠CAB=45°；
（2）若直線l為⊙O的切線，C是切點，在直線l上取一點D，使BD=AB，BD所在的直線與AC所在的直線相交于點E，連接AD． （Ⅰ）試探究AE與AD之間的是數量關系，并證明你的結論；
（Ⅱ）是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，連接BC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵AC=BC，

∴∠CAB=∠CBA= =45°；

（2）（Ⅰ）解：①當∠ABD為銳角時，如圖2所示，作BF⊥l于點F，

由（1）知△ACB是等腰直角三角形，

∵OA=OB=OC，

∴△BOC為等腰直角三角形，

∵l是⊙O的切線，

∴OC⊥l，

又BF⊥l，

∴四邊形OBFC是矩形，

∴AB=2OC=2BF，

∵BD=AB，

∴BD=2BF，

∴∠BDF=30°，

∴∠DBA=30°，∠BDA=∠BAD=75°，

∴∠CBE=∠CBA﹣∠DBA=45°﹣30°=15°，

∴∠DEA=∠CEB=90°﹣∠CBE=75°，

∴∠ADE=∠AED，

∴AD=AE；

②當∠ABD為鈍角時，如圖3所示，

同理可得BF= BD，即可知∠BDC=30°，

∵OC⊥AB、OC⊥直線l，

∴AB∥直線l，

∴∠ABD=150°，∠ABE=30°，

∴∠BEC=90°﹣（∠ABE+∠ABC）=90°﹣（30°+45°）=15°，

∵AB=DB，

∴∠ADB= ∠ABE=15°，

∴∠BEC=∠ADE，

∴AE=AD；

（Ⅱ）解：①如圖2，當D在C左側時，

由（2）知CD∥AB，∠ACD=∠BAE，∠DAC=∠EBA=30°，

∴△CAD∽△BAE，

∴ = = ，

∴AE= CD，

作EI⊥AB于點I，

∵∠CAB=45°、∠ABD=30°，

∴BE=2EI=2× AE= AE= × CD=2CD，

∴ =2；

②如圖3，當點D在點C右側時，過點E作EI⊥AB于I，

由（2）知∠ADC=∠BEA=15°，

∵AB∥CD，

∴∠EAB=∠ACD，

∴△ACD∽△BAE，

∴ = = ，

∴ CD，

∵BA=BD，∠BAD=∠BDA=15°，

∴∠IBE=30°，

∴BE=2EI=2× AE= AE= × CD=2CD，

∴ =2．

【解析】（1）由AB是⊙O的直徑知∠ACB=90°，由 = 即AC=BC可得答案；（2）（Ⅰ）分∠ABD為銳角和鈍角兩種情況，①作BF⊥l于點F，證四邊形OBFC是矩形可得AB=2OC=2BF，結合BD=AB知∠BDF=30°，再求出∠BDA和∠DEA度數可得；②同理BF= BD，即可知∠BDC=30°，分別求出∠BEC、∠ADB即可得；（Ⅱ）分D在C左側和點D在點C右側兩種情況，作EI⊥AB，證△CAD∽△BAE得 = = ，即AE= CD，結合EI= BE、EI= AE，可得BE=2EI=2× AE= AE= × CD=2CD，從而得出結論．