Question

如圖，拋物線y=-（x²+2x-24）與x軸相交于A、B兩點，點H是拋物線的頂點，以AB為直徑作圓G交拋物線對稱軸于E、F兩點．
（1）求頂點H的坐標．
（2）點P是拋物線對稱軸（x軸上方）上的一點，且滿足⊙P與直線AH和⊙G都相切，求點P的坐標．
（3）過點E作⊙G的切線L．點M、N分別是y軸與直線L上的動點，四邊形GMNA的周長是否有最小值？若有，求點M、N的坐標；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將拋物線的解析式進行配方，即可得出頂點的坐標．
（2）由（1）的拋物線解析式不難求出A、B兩點的坐標，而A、B關于點G對稱，由此求得G點的坐標，進而能求出AG、GH、AH的長；然后分兩種情況討論：
①⊙P與⊙G內切，且與直線AH相切時；設⊙P與AH的切點為C，連接CP，由相似三角形：△HPC和△HAG，列出關于HP、CP、AG、AH的比例關系式，由此求出點P的坐標；
②⊙P與⊙G外切，且與直線AH相切時；設⊙P與AH的切點為D，連接DP，后面的思路和解法同①．
（3）在四邊形GMNA中，只有GA邊是確定的，另外的三邊長都不明確，所以在求四邊形的最小周長時需要做兩個對稱點：①作點A關于直線L的對稱點A′，②作點G關于y軸的對稱點G′；連接A′G′，那么該直線與直線L和y軸的交點即為符合條件的N、M點．
解答：解：（1）∵y=-（x²+2x-24）=-（x+1）²+12，
∴頂點H（-1，12）．

（2）由y=-（x²+2x-24）=-（x+6）（x-4）知：A（-6，0）、B（4，0），則：G（-1，0）、E（-1，5）；
在Rt△HAG中，AG=GE=5，HG=12，則：AH==13；
設PE=x，分兩種情況討論：
①⊙P與⊙G內切，且與直線AH相切；
HE=HG-GE=12-5=7，HP1=7+x；
設⊙P與AH的切點為C，連接CP，如右圖，則有：Rt△HCP₁∽Rt△HGA，
∴=?=，解得：x=
∴GP₁=GE-EP₁=5-x=，P₁（-1，）；
②⊙P與⊙G外切，且與直線AH相切；
設⊙P與AH的切點為D，同①可知：=?=，解得：x=
∴GP₂=GE+EP₂=5+x=，P₂（-1，）；
綜上，點P的坐標為（-1，）或（-1，）．

（3）由題意知，直線L：y=5；
作A（-6，0）關于直線L的對稱點A′，則：A′（-6，10）；
作G（-1，0）關于y軸的對稱點G′，則：G′（1，0）；
連接A′G′，則直線A′G′與y軸、直線L的交點為符合條件的M、N點；
設直線A′G′的解析式為：y=kx+b，代入A′、G′兩點的坐標，有：
，解得
∴直線A′G′：y=-x+；
則：M（0，）、N（-，5）．
綜上，四邊形GMNA的周長有最小值，此時M（0，）、N（-，5）．
點評：這道二次函數綜合題綜合考查了圓與軸對稱圖形的性質等重要知識點；（2）題中，⊙P、⊙G的內、外切關系要分開進行討論，連接切點作出相似三角形也是重要的解題思路；最后一題中，根據軸對稱圖形的性質以及兩點間線段最短作出兩個對稱點是解答題目的關鍵所在．