Question

【題目】如圖：梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=9，BC=12，AB=6，在線段BC上任取一點P，連接DP，作射線PE⊥DP，PE與直線AB交于點E.

（1）試確定當CP=3時，點E的位置；

（2）若設CP=x，BE=y，試寫出y關于自變量x的函數關系式.

Answer 1

【答案】（1）點E與點B重合；（2）當點P在BF上：；當點P在CF上：

【解析】

（1）當CP=3時，易知四邊形ADPB是矩形，由DP⊥BC，PE⊥DP，得出點E與點B重合；

（2）作DF⊥BC，F為垂足．欲求y關于自變量x的函數關系式，分為兩種情況點P在BF上，點P在CF上，通過證明△PEB∽△DPF分別得出．

解：（1）連接DP

∵CP=3

∴BP=BC—CP=12—3=9

∵AD=9

∴AD=DP

∵AD∥DP，∠ABC=90°，

∴∠A=90°，

∴四邊形ABPD是矩形

∴ DP⊥BP

∵PE⊥DP

∴點E與點B重合

（2）過點D作DF⊥BC，垂足為F，

∴AD=BF=9 ，AB=DF=6

當點P在BF上：

∵∠BPE +∠EPD+∠DPF=180°，PE⊥PD，

∴∠BPE +∠DPF=90°，

∵DF⊥BC，

∴∠PDF+∠DPF=90°，

∴∠PDF =∠EPB，

∴△PEB∽△DPF，

∴ ，

∵CP=x，BE=y ，

∴BP=12—x PF=PC—CF=x—3，

∴，

∴，

當點P在CF上，同理可求得：．