Question

如圖，已知△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點P，Q同時從A、B兩點出發，分別沿AB、BC方向勻速運動，其中點P運動的速度是1cm/s，點Q運動的速度是2cm/s，當點Q運動到點C時，P，Q都停止運動．
（1）出發后運動2s時，試判斷△BPQ的形狀，并說明理由；那么此時PQ和AC的位置關系呢？請說明理由；
（2）設運動時間為t，△BPQ的面積為S，請用t的表達式表示S．

Answer 1

解：（1）△BPQ是等邊三角形，PQ∥AC，
∵運動至2s時，AP=2，BQ=4，
∴BP=AB-AP=4=BQ
又∵△ABC是邊長為6cm的等邊三角形
∴∠B=60°
∴△BPQ是等邊三角形
∴∠BPQ=∠A=60°
∴PQ∥AC．

（2）過Q作QH⊥AB于H，
∵BQ=2t，∠BQH=30°，
∴BH=t，QH=t．
∵BP=6-t
∴S=（6-t）•t=t（6-t）=-t²+3t．
分析：（1）當出發后兩秒時，AP=2×1=2，所以BP=4，BQ=2×2=4，又三角形ABC是等邊三角形，∠B=60°，所以△BPQ是等邊三角形，∠BPQ=∠A=60°，所以PQ∥AC．
（2）過Q作QH⊥AB，因為∠B=60°，所以∠BQH=30°，又BQ=2t，所以BH=t，由勾股定理，得QH=，所以得面積S為．
點評：此題是一個綜合性很強的題目，主要考查等邊三角形的性質，動點的問題，同學們要認真作答．