Question

如圖，點D，C是半圓周上的三等分點，直徑AB=4，過P作PC∥BD交AB的延長線于點P．
（1）判斷直線PC與⊙O的位置關系，并說明理由．
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）PC與圓O相切，理由為：連接OC，由D，C為半圓周上的三等分點可得出三條弧相等，利用等弧對等角及平角定義，以及圓周角定理求出∠COB=60°，∠DBA=30°，再由PC與BD平行，利用兩直線平行同位角相等得到∠CPB=30°，進而確定出三角形COP為直角三角形，即PC垂直于OC，可得出PC為圓O的切線；
（2）陰影部分的面積=三角形OPC的面積-扇形BOC的面積，求出即可．

解答：解：（1）PC與⊙O相切，理由如下：
證明：連接OC，
∵D，C是半圓周上的三等分點
∴

AD

，

DC

，

CB

的度數都為60°，
∴∠COB=60°，∠DBA=30°，
又DB∥PC，
∴∠CPB=∠DBA=30°，
∴∠CPB+∠COB=90°，
∴∠OCP=90°，
∴CO⊥PC，
又∵點C在圓上，
∴PC與⊙O相切；

（2）∵在Rt△OCP中，OC=

1

2

AB=2，∠P=30°，
∴OP=4，根據勾股定理得：PC=2

3

，
∵S_△COP=

1

2

OC•PC=2

3

，S_扇形BOC=

60π×22

360

=

2π

3

，
∴S_陰影=2

3

-

2π

3

．

點評：此題考查了切線的判定，涉及的知識有：圓周角定理，弧，弦及圓心角之間的關系，平行線的性質，扇形面積求法，以及勾股定理，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵．